[논문 리뷰] On Distribution depend SDEs with singular drifts

Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특이한 비틀림 계수를 가진 분포에 의존하는 확률미분방정식(SDE)의 잘 정의됨을 확립한다. 분산 계수에 대해 약한 정규성과 비퇴화 조건을 가정할 때 존재성을 증명하며, 비틀림 계수에 대해 일반화된 총변동에서의 적분 가능성과 연속성 조건을 요구한다. 유일성은 비틀림 계수에 대한 리프시츠 유형의 연속성 조건 하에서 입증된다.

ABSTRACT

We investigate the well-posedness of distribution dependent SDEs with singular coefficients. Existence is proved when the diffusion coefficient satisfies some non-degeneracy and mild regularity assumptions, and the drift coefficient satisfies an integrability condition and a continuity condition with respect to the (generalized) total variation distance. Uniqueness is also obtained under some additional Lipschitz type continuity assumptions.

연구 동기 및 목표

• 비틀림 계수가 특이적(즉, 매끄럽지 않은)일 때 분포에 의존하는 SDE의 잘 정의됨을 다루는 것.
• 해의 존재성과 유일성을 보장하는 데 필요한 비틀림 계수와 분산 계수에 대한 최소 조건을 규명하는 것.
• 평균장 모델에서 흔한 특이 비틀림을 포함하는 경우로 분포에 의존하는 SDE 이론을 확장하는 것.
• 일반화된 총변동 거리에서 리프시츠 유형의 연속성 조건 하에서 유일성을 확립하는 것.

제안 방법

• 해의 존재성을 보장하기 위해 분산 계수에 대해 비퇴화성과 약한 정규성 조건을 사용한다.
• 비틀림 계수의 특이 행동을 제어하기 위해 적분 가능성 조건을 도입한다.
• 분포 의존성을 다루기 위해 일반화된 총변동 거리에 대한 비틀림의 연속성 조건을 도입한다.
• 비틀림에 대해 일반화된 총변동 거리에서 리프시츠 유형의 연속성 조건을 가정하고 고정점 원리나 수축 원리를 적용하여 경로 유일성을 증명한다.
• 분포에 의존하는 SDE에 특화된 확률분석 및 확률이론 기법을 활용한다.
• 해의 법칙에 대한 비틀림의 연속성 측정을 위해 일반화된 총변동 거리를 거리로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비틀림 계수가 특이적일 때 분포에 의존하는 SDE가 약한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 해의 존재성을 보장하기 위해 비틀림 계수의 해의 법칙에 대한 의존성을 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ3 특이성이 존재하는 상황에서 경로 유일성을 보장하기 위한 비틀림에 대한 충분한 정규성 조건은 무엇인가?
• RQ4 일반화된 총변동 거리에서 리프시츠 유형의 연속성 조건 하에서 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 비퇴화성 조건이 잘 정의됨을 보장하는 데 비틀림 계수의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 분산 계수가 비퇴화성과 약한 정규성 조건을 만족할 경우 해의 존재성이 확립된다.
• 비틀림 계수는 일반화된 총변동 거리에 대한 적분 가능성 조건과 연속성 조건을 만족해야 한다.
• 비틀림 계수에 대해 일반화된 총변동 거리에서 리프시츠 유형의 연속성 조건을 추가로 만족할 경우 해의 유일성이 확보된다.
• 결과는 특이 비틀림을 포함하는 분포에 의존하는 SDE 이론을 확장하여 평균장 모델에 대한 적용 범위를 넓힌다.
• 제시된 적분 가능성과 연속성 기준을 충족하는 한, 유계이거나 매끄럽지 않은 특이 비틀림도 허용 가능하다.
• 일반화된 총변동 거리의 사용은 비틀림 계수의 분포 의존성에 대한 강력한 분석을 가능하게 한다.