[논문 리뷰] On lax transformations, adjunctions, and monads in $(\infty,2)$-categories

Rune Haugseng|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 26인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $(\infty,2)$-범주에서 모나드의 세 가지 관점 간의 등가성을 확립한다: 종속자 카테고리에서의 결합 대수로서, 단순화된 오른쪽 수반으로서, 그리고 보편 모나드 2-범주로부터의 함자로서. 그레이나 곱과 단순체적 $\infty$-범주를 사용하여, 구성 성분이 동치인 립스 변환들을 '아이콘'—$(\infty,2)$-범주적 해석—으로 식별함으로써, 세 프레임워크 전반에 걸쳐 모나드 사상의 완전한 비교를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We use the basic expected properties of the Gray tensor product of $(\infty,2)$-categories to study (co)lax natural transformations. Using results of Riehl-Verity and Zaganidis we identify lax transformations between adjunctions and monads with commutative squares of (monadic) right adjoints. We also identify the colax transformations whose components are equivalences (generalizing the "icons" of Lack) with the 2-morphisms that arise from viewing $(\infty,2)$-categories as simplicial $\infty$-categories. Using this characterization we identify the $\infty$-category of monads on a fixed object and colax morphisms between them with the $\infty$-category of associative algebras in endomorphisms.

연구 동기 및 목표

• 기존의 $(\infty,2)$-범주에서의 모나드 정의 간 등가성을, 모나드 간 사상까지 포함하여 확장한다.
• 공통의 오른쪽 수반을 갖는 사각형을 통해, 수반과 모나드 사이의 립스 변환을 특성화한다.
• 구성 성분이 모두 동치인 복합 변환들을 $(\infty,2)$-범주적 해석으로서 레이크의 '아이콘'에 대응하는 것으로 식별한다.
• 복합 사상이 포함된 모나드의 $\infty$-범주가 종속자 카테고리에서의 결합 대수의 $\infty$-범주와 등가임을 보인다.
• 세 가지 모나드 관점—종속자 카테고리에서의 대수로서, 단순화된 오른쪽 수반으로서, 보편 모나드 2-범주로부터의 함자로서—을 통합한다.

제안 방법

• 립스 및 복합 함자를 정의하기 위해 $(\infty,2)$-범주적 그레이나 곱의 기본 성질을 가정한다(가정 3.5).
• 라이얼-버티 및 자가니디스의 $(\infty,2)$-범주 연구를 활용하여, 수반과 모나드 사이의 립스 사상이 공통 오른쪽 수반의 사각형과 관련이 있음을 규명한다.
• 구성 성분이 모두 동치인 복합 변환들이 단순체적 $\infty$-범주를 통해 $\Delta^{\mathrm{op}}$ 위의 코카르티esian 피브레이션을 통해 유도됨을 특성화한다.
• 비대칭 $\infty$-오페라드 이론을 적용하여, 모나드를 종속자 $\infty$-범주의 결합 대수와 연결한다.
• 성분이 동치인 복합 변환들의 넓은 부분범주로서 $\mathrm{Nat}(X,Y) \to \mathrm{Fun}^{\mathrm{colax}}(X,Y)$ 를 구성한다.
• 코카르티esian 피브레이션의 당김을 사용하여 종속자 $\infty$-범주의 모나드 구조를 정의하고, 이를 대수적 구조와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $(\infty,2)$-범주에서, 수반과 모나드 사이의 립스 변환은 공통 오른쪽 수반의 사각형과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 구성 성분이 모두 동치인 복합 변환은 $(\infty,2)$-범주적 해석으로서 레이크의 '아이콘'에 대응하는가?
• RQ3 모나드의 세 정의(종속자 카테고리에서의 대수로서, 단순화된 오른쪽 수반으로서, 보편 모나드 2-범주로부터의 함자로서)에 사상이 포함될 경우, 어떻게 비교할 수 있는가?
• RQ4 복합 사상이 포함된 모나드의 $\infty$-범주와 종속자에서의 결합 대수의 $\infty$-범주 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 단순체적 $\infty$-범주와 코카르티esian 피브레이션의 구조를 사용하여, 모나드 정의 간 등가성이 사상까지 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 고정된 객체 $X$에 대해 복합 사상을 갖는 모나드의 $\infty$-범주는 모나드 구조를 갖춘 $\mathrm{End}(X)$의 결합 대수의 $\infty$-범주와 등가이며, 忘却 함자는 기본 객체에 해당한다.
• 모나드 간 립스 변환의 $\infty$-범주는 $\mathrm{CAT}_\infty$ 내의 단순화된 오른쪽 수반의 $\infty$-범주와 등가이며, 오른쪽 수반으로 제한함으로써 유도된다.
• 구성 성분이 모두 동치인 복합 변환들은 $(\infty,2)$-범주를 단순체적 $\infty$-범주로 간주함으로써 기인하며, 이는 레이크의 '아이콘'에 대한 $(\infty,2)$-범주적 해석이다.
• $\mathrm{MND}(\mathrm{CAT}_\infty)^{\mathrm{colax}}$의 $C$에 대한 섬세한 부분은 $\mathrm{Alg}(\mathrm{End}(C))$와 등가이며, 이는 $C$의 종속자에서의 결합 대수의 $\infty$-범주이다.
• 라이얼-버티 구성법을 통해 모나드 $T$에 대응하는 단순화된 오른쪽 수반은 $T$-왼쪽 모듈의 $\infty$-범주와 등가이며, 루리에의 단순화성 정리와 일관됨을 확인한다.
• $\mathrm{End}(X)$에서의 결합 대수에서의 忘却 함자는 $\mathrm{Mnd}(X)^{\mathrm{colax}} \to \mathrm{End}(X)^{\mathrm{colax}}$의 포함 사상의 $X$에서의 섬세한 부분에 제한됨으로써 유도되며, 이는 일관된 대수적 구조를 확립한다.