[논문 리뷰] On lifting univalence to the equivariant setting

Anthony Bordg|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 13.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 학위논문은 프레샤프 카테고리들을 통해 등변 설정으로 Voevodsky의 Univalence Axiom을 올리는 것을 조사한다. $[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$에서 프로젝티브 및 임베디드 모델 구조를 통해 모델을 구축함으로써, 임베디드 모델에서는 유일성(univalence)이 성립하지만 프로젝티브 모델에서는 성립하지 않음을 보여주며, 등변형 타입 이론에서 유일성의 성립 여부가 모델 구조 선택에 민감함을 입증한다.

ABSTRACT

This PhD thesis deals with some new models of intensional type theory and the Univalence Axiom introduced by Vladimir Voevodsky. Our work takes place in the framework of the definitions of type-theoretic fibration categories (the notion of model under consideration in this thesis) and universe in a type-theoretic fibration category, definitions due to Michael Shulman. The goal of this thesis consists mainly in the exploration of the stability of the univalence axiom, in particular in the following sense: being given a type-theoretic fibration category C equipped with a univalent universe U, we are eager to endow the functor category [D,C], where D is a small category, with the structure of a type-theoretic fibration category plus a univalent universe.

연구 동기 및 목표

• 기본 카테고리에서 프레샤프 카테고리로의 확장에 의해 등변형 타입 이론에서 Univalence Axiom의 안정성 조사
• 타입 이론적 분할 카테고리 $\mathscr{C}$가 유일성 유니버스를 갖는다고 가정할 때, 프레샤프 카테고리 $[\mathcal{D}^{op}, \mathscr{C}]$로의 유일성 성질의 승격 여부 분석
• 동일한 프레샤프 카테고리 위에서 프로젝티브 구조와 임베디드 구조 간의 다른 모델 구조에서의 유일성 행동 비교
• $[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$에서 $\Sigma$, $\Pi$, 동치 타입, 그리고 유일성 유니버스를 갖는 내부 타입 이론의 명시적 모델 구축
• 비표준 자동형사상이 존재하는 상황에서 Reedy 일반화 카테고리가 유일성 모델링에 미치는 역할 이해

제안 방법

• 타입 이론적 분할 카테고리와 Shulman의 정의에 따라, 동치에 대한 엄격한 등식이 아닌, 등치에 대해 닫힌 유니버스 사용
• 프로젝티브 모델 구조를 사용하여 $[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$에서 모델을 구축하며, 인벌로션을 갖는 이산 군위즈(discrete groupoids)의 유니버스 포함
• 프로젝티브 구조에서의 자명한 코프라브리케이션과 약한 동치를 특성화하여 타입 이론적 구조의 타당성 검증
• 동일한 카테고리에 대해 임베디드 모델 구조를 적용하여 두 번째 모델을 구축하며, 이는 유일성 유니버스를 포함함
• 임베디드 구조에서의 분할 객체와 분할 사상은 복잡한 성격을 지니므로 주의 깊게 다뤄야 함을 보여줌
• $\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$가 비표준 자동형사상을 지닌 일반화된 Reedy 카테고리임을 활용함으로써, 표준 Reedy 카테고리와의 차별화를 이룸

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타입 이론적 분할 카테고리 $\mathscr{C}$에서 유일성 Axiom이 프레샤프 카테고리 $[\mathcal{D}^{op}, \mathscr{C}]$로 승격되는가?
• RQ2 프레샤프 카테고리 $[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$에서 프로젝티브 및 임베디드 모델 구조가 인벌로션을 갖는 이산 군위즈의 유일성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 분할 객체의 복잡성에도 불구하고, 임베디드 모델 구조에서 $[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$에 유일성 유니버스를 구축할 수 있는가?
• RQ4 기본 카테고리 $\mathbf{Gpd}$가 유일성을 지원함에도 불구하고, 왜 프로젝티브 모델 구조에서는 유일성이 실패하는가?
• RQ5 색인 카테고리 $\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$의 비자명한 자동형사상이 프레샤프 카테고리에서 유일성 유니버스의 구축에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 프로젝티브 모델 구조에서 $[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$에서 인벌로션을 갖는 이산 군위즈의 유니버스는 유일성이 성립하지 않는다.
• 프로젝티브 모델에서의 유일성 실패는 비자명한 프로젝티브 약한 동치의 특성화에 기인하며, 이는 유일성 조건을 차단한다.
• 동일한 카테고리에서 임베디드 모델 구조에서는 인벌로션을 갖는 이산 군위즈의 유니버스가 유일성 성립을 보이며, 이는 모델 구조 선택의 중요성을 입증한다.
• 임베디드 모델 구조는 분할 객체와 분할 사상의 복잡성에도 불구하고 유일성 유니버스를 지원하며, 이는 이 구조가 유일성 타입 이론에 적합함을 시사한다.
• 임베디드 모델 구조의 모델은 색인 카테고리가 Reedy일 경우 Shulman의 Reedy 모델과 일치하지만, 비자명한 자동형사상을 지닌 일반화된 Reedy 카테고리로도 확장 가능하다.
• 프로젝티브 모델에서는 함수의 확장성(extensionality)이 실패하며, 이는 $\Sigma$, $\Pi$, 동치 타입을 포함하고 있음에도 불구하고 핵심 타입 이론 원칙을 충족하지 못함을 추가로 시사한다.