[논문 리뷰] On smile properties of volatility derivatives and exotic products: understanding the VIX skew

Elisa Alòs, David García-Lorite외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 VIX와 실현 분산 옵션과 같은 복잡한 변동성 파생상품의 근접행사임의기대변동성(ATMI) 수준과 기울기의 단기 행동을 분석하기 위해 말리아빈 미분법 기반의 방법을 개발한다. 연구는 변동성 과정의 허스트 매개수 H < 1/2일 때, 예를 들어 난잡한 변동성 모델에서 VIX 기울기의 양의 성향이 나타남을 규명하고, 중간 기간 동안에도 유효한 ATMI 기울기 및 수준에 대한 명시적 점근 공식을 도출한다.

ABSTRACT

We develop a method to study the implied volatility for exotic options and volatility derivatives with European payoffs such as VIX options. Our approach, based on Malliavin calculus techniques, allows us to describe the properties of the at-the-money implied volatility (ATMI) in terms of the Malliavin derivatives of the underlying process. More precisely, we study the short-time behaviour of the ATMI level and skew. As an application, we describe the short-term behavior of the ATMI of VIX and realized variance options in terms of the Hurst parameter of the model, and most importantly we describe the class of volatility processes that generate a positive skew for the VIX implied volatility. In addition, we find that our ATMI asymptotic formulae perform very well even for large maturities. Several numerical examples are provided to support our theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 변동성 파생상품, 특히 VIX 옵션에서 변동성 옵션의 양의 기대 변동성 기울기가 발생하는 조건을 이해하는 것.
• 특수한 변동성 파생상품 및 복잡한 파생상품에서 근접행사임의기대변동성(ATMI) 수준과 기울기의 단기 행동을 분석할 수 있는 실용적인 방법을 개발하는 것.
• 시장 데이터에서 관찰되는 현실적인 VIX 기울기를 생성하는 확률적 변동성 과정의 집합을 특성화하는 것.
• 말리아빈 미분법 기법을 활용해 기존의 ATMI 점근 결과를 실현 분산 및 VIX 옵션으로 확장하는 것.
• 무한소 기간 한계를 넘어서도 정확한 유지가 가능한 ATMI 기울기 및 수준에 대한 점근 공식을 제공하는 것.

제안 방법

• 말리아빈 미분법을 활용해 복잡한 파생상품의 ATMI 기울기 및 수준을 기초가 되는 변동성 과정의 말리아빈 미분으로 표현한다.
• 복잡한 옵션 가격과 변형된 기초자산에 대한 바닐라 옵션 가격 사이의 연결 고리를 설정하며, 여기서 변동성은 원래 과정의 말리아빈 미분에 의해 결정된다.
• T → 0의 극한에서 점근 전개를 적용하여 ATMI 기울기 및 수준에 대한 명시적 표현을 도출하며, 이는 만기 근처에서 변동성 과정의 행동을 활용한다.
• 허스트 매개수 H를 포함한 핵심 점근 공식을 유도하며, 특정 정규성 조건 하에서 기울기는 T^{H - 1/2} 비례로 증가하고 수준 역시 T^{H - 1/2} 비례로 증가함을 보여준다.
• 초함수 함수와 확률적 적분을 사용해 변동성 과정의 말리아빈 미분을 포함하는 기대값을 계산한다.
• 수치적 방법으로 점근 공식의 타당성을 검증하여, 중간 기간 동안에도 뛰어난 성능을 보임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 종류의 확률적 변동성 과정이 VIX 옵션에서 단기적으로 양의 기대 변동성 기울기를 생성하는가?
• RQ2 난잡한 변동성 모델의 허스트 매개수 H가 VIX 및 실현 분산 옵션의 ATMI 기울기 및 수준의 단기 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 말리아빈 미분법 기법을 통해 ATMI 기울기 및 수준에 대한 정확한 점근 근사식을 도출할 수 있으며, 이는 무한소 기간 한계를 넘어서도 유효한가?
• RQ4 ATMI 기울기는 변동성 과정의 말리아빈 미분에 대해 정확히 어떤 함수적 의존성을 가지는가?
• RQ5 실제 기간에 대해 수치 시뮬레이션과 비교했을 때 ATMI 기울기 및 수준의 점근 공식은 어떻게 성능을 보이는가?

주요 결과

• VIX 및 실현 분산 옵션의 ATMI 기울기는 단기 근처에서 허스트 매개수 H에 따라 T^{H - 1/2} 비례로 증가한다.
• H < 1/2일 때 VIX 기울기의 양의 성향이 발생하며, 이는 분수 Brown 운동 기반의 난잡한 변동성 모델의 특성이다.
• ATMI 수준 역시 T^{H - 1/2} 비례로 증가하며, 이에 대한 계수는 지급 함수의 도함수와 初기 변동성 수준에 따라 달라진다.
• ATMI 기울기의 점근 공식은 두 항의 조합으로 표현되며, 첫 번째 항은 지급 함수의 이阶도함수와 초함수 적분을 포함하고, 두 번째 항은 일阶도함수와 변동성 수준을 포함한다.
• 수치 예제를 통해 도출된 ATMI 기울기 및 수준의 점근 표현식은 중간 기간 동안에도 뛰어난 성능을 보이며 유효함을 확인하였다.
• 이 방법은 기존의 ATMI 기울기 결과를 복잡한 변동성 파생상품으로 일반화하여, 기초 과정의 말리아빈 미분과 연결함으로써 성공적으로 적용되었다.