[논문 리뷰] On the Asymptotic Capacity of $X$-Secure $T$-Private Information Retrieval with Graph Based Replicated Storage

Zhuqing Jia, Syed A. Jafar|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 11.

Cryptography and Data Security참고 문헌 31인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 그래프 기반 복제 저장을 사용하는 X-보안 T-비밀정보 검색(GXSTPIR)의 渐近적 용량을 규명하며, 이중 일반화 리드-솔로몬 코드를 사용하는 새로운 방법을 제안하여 $(\rho_{\min} - X - T)/N$ 의 비율을 달성한다. 여기서 $\rho_{\min}$ 은 최소 복제 계수이다. 각 메시지가 최대 $T+2$ 번 복제될 때 $X=0$ 인 경우에 대해 용량이 완전히 특성화되며, $T=1$ 이고 3중 복제 저장인 경우 비율은 $2/\nu_2(G)$ 로 동일하다.

ABSTRACT

The problem of private information retrieval with graph-based replicated storage was recently introduced by Raviv, Tamo and Yaakobi. Its capacity remains open in almost all cases. In this work the asymptotic (large number of messages) capacity of this problem is studied along with its generalizations to include arbitrary $T$-privacy and $X$-security constraints, where the privacy of the user must be protected against any set of up to $T$ colluding servers and the security of the stored data must be protected against any set of up to $X$ colluding servers. A general achievable scheme for arbitrary storage patterns is presented that achieves the rate $(ρ_{\min}-X-T)/N$, where $N$ is the total number of servers, and each message is replicated at least $ρ_{\min}$ times. Notably, the scheme makes use of a special structure inspired by dual Generalized Reed Solomon (GRS) codes. A general converse is also presented. The two bounds are shown to match for many settings, including symmetric storage patterns. Finally, the asymptotic capacity is fully characterized for the case without security constraints $(X=0)$ for arbitrary storage patterns provided that each message is replicated no more than $T+2$ times. As an example of this result, consider PIR with arbitrary graph based storage ($T=1, X=0$) where every message is replicated at exactly $3$ servers. For this $3$-replicated storage setting, the asymptotic capacity is equal to $2/ν_2(G)$ where $ν_2(G)$ is the maximum size of a $2$-matching in a storage graph $G[V,E]$. In this undirected graph, the vertices $V$ correspond to the set of servers, and there is an edge $uv\in E$ between vertices $u,v$ only if a subset of messages is replicated at both servers $u$ and $v$.

연구 동기 및 목표

• 메시지들이 서버의 부분 집합에만 저장되는 그래프 기반 복제 저장 환경에서 X-보안 T-비밀 정보 검색(GXSTPIR)의 渐近적 용량을 규명하는 것.
• 이전의 T-비밀 및 X-보안 PIR 결과를 비균일 복제를 포함한 임의의 저장 패턴으로 일반화하는 것.
• 특히 이중 일반화 리드-솔로몬(GRS) 코드를 활용한 구조적 코딩 기법을 적용하여 효율적인 비밀성과 안전성을 확보한 구현 가능한 방법을 개발하는 것.
• 정보 이론적 부등식, 상호정보량 및 마르코프 체인 추론을 포함한 일반적인 역방향 경계를 도출하여 여러 설정에서 달성 가능한 비율과 일치시키며, 핵심 케이스에서 용량을 특성화하는 것.

제안 방법

• 모든 메시지가 최소한 $\rho_{\min}$ 대의 서버에 복제되는 경우, $(\rho_{\min} - X - T)/N$ 의 비율을 달성하는 새로운 실현 가능한 방법을 제안한다.
• 이중 일반화 리드-솔로몬(GRS) 코드의 영감을 얻은 코딩 구조를 도입하여 간섭을 정렬하고, 안전하고 비밀스러운 쿼리 설계를 가능하게 한다.
• 교차 부분공간 정렬과 코딩된 쿼리 설계를 통해 $T$-비밀성(최대 $T$ 개의 공모 서버에 대비)과 $X$-보안(최대 $X$ 개의 공모 서버에 대비) 조건을 동시에 만족시킨다.
• 정보 이론적 부등식, 상호정보량 및 마르코프 체인 추론을 포함한 일반적인 역방향 경계를 적용한다.
• 역방향 경계를 도출할 때 $X$-보안 및 $T$-비밀성 조건에 기반한 제약 조건을 적용하여, 이러한 조건 하에서 상호정보량 항목이 소멸됨을 보여준다.
• 특히 $X=0$ 이고 $\rho_{\min} \leq T+2$ 인 경우에 대해 대칭적 및 저복제 설정에서 역방향 경계의 날카로움을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 그래프 기반 복제 저장 패턴을 가진 X-보안 T-비밀 정보 검색의 渐近적 용량은 무엇인가?
• RQ2 임의의 저장 패턴에서 작동하고 $X$-보안 및 $T$-비밀성 조건을 모두 만족하는 일반적인 실현 가능한 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ3 메시지의 서버 간 복제 구조는 용량에 어떻게 영향을 미치며, 특히 복제 수가 $T+2$ 이하일 경우 어떻게 되는가?
• RQ4 이 논문에서 도출한 역방향 경계는 광범위한 저장 그래프 및 파라미터에 대해 날카로운가?
• RQ5 X=0(보안 제약 없음)이고 각 메시지가 최대 $T+2$ 번 복제될 경우 정확한 渐近적 용량은 무엇인가?

주요 결과

• X=0 이고 각 메시지가 최대 $T+2$ 번 복제될 경우 GXSTPIR의 渐近적 용량이 완전히 특성화되며, $T=1$ 이고 3중 복제 저장인 경우 비율은 $2/\nu_2(G)$ 로 동일하다.
• 제안된 방법은 대칭적 저장 패턴 및 기타 구조적 설정에서 역방향 경계와 일치하는 $(\rho_{\min} - X - T)/N$ 의 비율을 달성한다.
• T=1 이고 3중 복제 저장인 경우, 渐近적 용량은 $2/\nu_2(G)$ 로 표현되며, 여기서 $\nu_2(G)$ 는 저장 그래프 $G$ 의 최대 크기의 2-매칭이다.
• 용량이 해결된 모든 설정에서 역방향 경계가 날카로운 것으로 입증되었으며, 이는 대칭적 복제 및 저복제 영역을 포함한다.
• 이중 GRS 코드의 사용은 $T$-비밀성 및 $X$-보안 조건을 동시에 만족시키는 구조적 간섭 정렬 방법을 가능하게 한다.
• 기존의 PIR, TPIR, XSTPIR 연구 결과를 일반화하여, 하나의 그래프 기반 복제 저장 프레임워크로 통합하였다.