[논문 리뷰] On the fundamental group of II_1 factors and equivalence relations arising from group actions

Sorin Popa, Stefaan Vaes|arXiv (Cornell University)|2008. 10. 03.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 자유 에르고딕 확률 측도 보존 군 작용에서 유래하는 II₁ 연산자 대수와 궤도 등가 관계의 기본군을 조사한다. 특정 군들, 예를 들어 $\Gamma^{*\infty}*\mathbb{Z}$의 경우, 가능한 기본군의 집합은 $\mathbb{R}_+$, 모든 가산 부분군, 그리고 (0,1) 내의 임의의 하우스도르프 차원을 가진 비가산 부분군을 포함한다. $\Gamma*\Lambda$에서 하나의 군이 카즈한 성질 (T)를 가지며 ICC일 경우, 기본군은 자명하며, 비아벨 FC-근을 가진 잔여 유한 성질 (T) 군에서 중심 시퀀스를 이용해 매덕프 연산자 대수를 구성한다.

ABSTRACT

Given a countable group G, we consider the sets S_factor(G), S_eqrel(G), of subgroups F of the positive real line for which there exists a free ergodic probability measure preserving action G on X such that the fundamental group of the associated II_1 factor, respectively orbit equivalence relation, equals F. We prove that if G is the free product of Z and infinitely many copies of a non-trivial group Γ, then S_factor(G) and S_eqrel(G) contain R_+ itself, all of its countable subgroups, as well as uncountable subgroups whose log can have any Hausdorff dimension in the interval (0,1). We then prove that if G=Γ*Λ, with Γ, Λfinitely generated ICC groups, one of which has property (T), then S_factor(G)=S_eqrel(G)={1}. We also show that there exist II_1 factors M such that the fundamental group of M is R_+, but the associated II_\infty factor M tensor B(l^2) admits no continuous trace scaling action of R_+.

연구 동기 및 목표

• 자연수군 $G$의 자유 에르고딕 p.m.p. 작용을 통한 실현 가능한 기본군 집합인 $\mathscr{S}_{\text{factor}}(G)$와 $\mathscr{S}_{\text{eqrel}}(G)$를 결정하는 것.
• 아벨성, 성질 (T), 잔여 유한성, FC-근 구조 등 군론적 성질이 관련된 II₁ 연산자 대수와 등가 관계의 기본군에 미치는 영향을 탐색하는 것.
• 연장에 대한 연속적 추적 스케일링 작용을 갖지 않는 $\mathbb{R}_+$ 기본군을 가진 II₁ 연산자 대수의 예를 구성하는 것.
• ICC 군의 곱에서 성질 (T)를 가진 군이 있을 경우 기본군이 자명하거나 가산이 되는 조건을 설정하는 것, 특히 성질 (T)를 가진 ICC 군의 곱에 대해.

제안 방법

• 군 작용과 von Neumann 대수 기법을 이용하여 $M = L^\infty(X) \rtimes G$ 형태의 군 측도 공간 II₁ 연산자 대수 $M$의 기본군 $\mathcal{F}(M)$을 분석한다.
• 구조적 분석을 위해 중심자와 유한지수 부분대수를 사용하여 $M \cap B^\prime$의 성질을 연구하고, [21]에서 유도된 성질 (T) 결과를 적용하여 $\mathcal{F}(M)$의 가산성을 도출한다.
• 투영원소 $\chi_{s\Gamma_n}$과 $L(\Gamma)$ 내의 유니터리 $u_{sh^{-1}s^{-1}}$를 이용해 $M$ 내의 중심 시퀀스 $v_{h_n}$를 구성하며, $\tau(v_{h_n}) = 0$ 이고 $\| [\chi_{g\Gamma_k}, v_{h_n}] \|_2 \to 0$ ($n \to \infty$) 임을 보장한다.
• 잔여 유한한 작용 $\Gamma \curvearrowright \varprojlim \Gamma/\Gamma_n$을 활용하여, $\Gamma_n \subset \operatorname{C}_\Gamma(h)$ 인 큰 $n$에 대해 자유 에르고딕 p.m.p. 작용을 실현하고, 중심 시퀀스의 구성 조건을 만족시킨다.
• 논문 [21, 정리 A.1]의 기준을 적용하여, $M \cap B^\prime \subset B$ 를 만족하는 유한지수 부분대수 $B$ 가 성질 (T)를 가지면 $\mathcal{F}(M)$이 가산임을 도출한다.
• 군 $\Gamma_f \cap \Gamma_n$ 내에서 비아벨 유한지수 부분군의 존재를 이용하여, $v_{h_n}$과 $v_{h_n'}$이 중심 시퀀스임을 보장하고, $\tau(v_{h_n}v_{h_n'}v_{h_n}^*v_{h_n'}^*) = 0$ 임을 확인함으로써 $M$ 이 매덕프임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자연수군 $G$ 중에서 $\mathscr{S}_{\text{factor}}(G)$ 가 $\mathbb{R}_+$ 와 (0,1) 내의 임의의 하우스도르프 차원을 가진 비가산 부분군을 포함하는 경우는 언제인가?
• RQ2 $\Gamma, \Lambda$ 가 ICC 이고, 그 중 하나가 성질 (T)를 가지는 $G = \Gamma * \Lambda$ 에서 $\mathscr{S}_{\text{factor}}(G) = \{\{1\}\}$ 가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 $\mathcal{F}(M) = \mathbb{R}_+$ 인 II₁ 연산자 대수 $M = L^\infty(X) \rtimes \mathbb{F}_\infty$ 가 $M \overline{\otimes} B(\ell^2(\mathbb{N}))$ 에서 $\mathbb{R}_+$ 의 연속적 추적 스케일링 작용을 갖지 못할 수 있는가?
• RQ4 성질 (T)를 가진 군 $\Gamma$ 의 FC-근이 프로파인트 작용을 통해 매덕프 연산자 대수를 유도하는 조건은 무엇이며, $[\Gamma_f, \mathcal{Z}(\Gamma_f)] = \infty$ 는 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 군 $\Gamma$ 내의 중심자와 유한지수 부분군이 $L^\infty(X) \rtimes \Gamma$ 의 기본군에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 만약 $G = \Gamma^{*\infty}*\mathbb{Z}$ 이고 $\Gamma \neq 1$ 이면, $\mathscr{S}_{\text{factor}}(G)$ 와 $\mathscr{S}_{\text{eqrel}}(G)$ 는 $\mathbb{R}_+$, $\mathbb{R}_+$ 의 모든 가산 부분군, 그리고 임의의 하우스도르프 차원 $\alpha \in (0,1)$ 을 가진 비가산 부분군을 포함한다.
• 연속적 추적 스케일링 작용을 갖지 않는 $\mathbb{R}_+$ 기본군을 가진 II₁ 연산자 대수 $M = L^\infty(X) \rtimes \mathbb{F}_\infty$ 가 존재한다.
• 만약 $G = \Gamma * \Lambda$ 이고 $\Gamma, \Lambda$ 가 유한 생성 ICC 군이며, 그 중 하나가 카즈한 성질 (T)를 가진다면, $\mathscr{S}_{\text{factor}}(G) = \mathscr{S}_{\text{eqrel}}(G) = \{\{1\}\}$ 이다.
• 성질 (T)를 가진 군 $\Gamma$ 가 $\mathcal{Z}(\Gamma)$ 가 $\Gamma_f$ 에서 유한지수이면, $L^\infty(X) \rtimes \Gamma$ 의 기본군은 항상 가산이다.
• 만약 $\Gamma$ 가 잔여 유한하고 $[\Gamma_f, \mathcal{Z}(\Gamma_f)] = \infty$ 이면, $\Gamma$ 는 자유 에르고딕 프로파인트 p.m.p. 작용을 가지며, 이 작용에 의해 유도된 $L^\infty(X) \rtimes \Gamma$ 는 매덕프이다.
• 투영원소 $\chi_{s\Gamma_n}$ 과 유니터리 $u_{sh^{-1}s^{-1}}$ 를 이용한 중심 시퀀스 $v_{h_n}$ 의 구성은 $\| [\chi_{g\Gamma_k}, v_{h_n}] \|_2 \to 0$ 과 $\tau(v_{h_n}) = 0$ 을 보장하며, 이는 $\Gamma_f \cap \Gamma_n$ 이 큰 $n$ 에서 비아벨일 경우 $M$ 이 매덕프임을 이끌어낸다.