[논문 리뷰] Optimal minimax bounds for time and ensemble averages of dissipative infinite-dimensional systems with applications to the incompressible Navier-Stokes equations

Ricardo Rosa, Roger Témam|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 13.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 2차원 및 3차원 비압축성 나비에-스토크스 방정식과 같은 소산 무한차원 시스템에서 시간 평균 및 앙상블 평균에 대한 최적의 경계를 유도하는 최소최대 최적화 프레임워크를 제시한다. 위상공간과 이 위에 정의된 실린더형 시험 함수계에 대한 이중성 기반 최적화를 통해, 시스템의 해를 명시적으로 알 필요 없이 시스템의 법칙에만 기반하여 날카로운 경계를 도출한다.

ABSTRACT

Obtaining sharp estimates for quantities involved in a given model is an integral part of a modeling process. For dynamical systems whose orbits display a complicated, perhaps chaotic, behaviour, the aim is usually to estimate time or ensemble averages of given quantities. This is the case, for instance, in turbulent flows. In this work, the aim is to present a minimax optimization formula that yields optimal bounds for time and ensemble averages of dissipative infinite-dimensional systems, including the two- and three-dimensional Navier-Stokes equations. The results presented here are extensions to the infinite-dimensional setting of a recent result on the finite-dimensional case given by Tobasco, Goluskin, and Doering in 2017. The optimal result occurs in the form of a minimax optimization problem and does not require knowledge of the solutions, only the law of the system. The minimax optimization problem appears in the form of a maximization over a portion of the phase space of the system and a minimization over a family of auxiliary functions made of cylindrical test functionals defined on the phase space. The function to be optimized is the desired quantity plus the duality product between the law of the system and the derivative of the auxiliary function.

연구 동기 및 목표

• 복잡하거나 혼돈적인 행동을 보이는 소산 무한차원 동역학계에서 시간 평균 및 앙상블 평균에 대한 날카롭고 최적의 경계를 도출하는 것.
• 이전에 토바스, 골루스킨, 두어링(2017)에 의해 확립된 유한차원 최소최대 경계를, 비압축성 나비에-스토크스 방정식 포함한 무한차원 설정으로 확장하는 것.
• 해의 궤적이나 동역학적 정보의 세부 사항을 알 필요 없이 시스템의 법칙에만 기반하는 방법을 개발하는 것.
• 에너지 소산과 복잡한 역학을 보이는 시스템에서 관측량의 장기 평균을 경계 짓기 위한 엄밀한 변분 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 목적 함수가 위상공간의 부분집합에 대해 최대화되고 위상공간 위에 정의된 실린더형 시험 함수계에 대해 최소화되는 최소최대 최적화 문제를 수립한다.
• 실린더형 시험 함수로부터 구성된 보조 함수를 도입하며, 그 도함수는 시스템의 법칙과 이중성 곱을 통해 연결된다.
• 관심 있는 관측량과 시스템의 법칙 및 보조 함수 도함수 사이의 이중성 곱의 합을 최적화한다.
• 기본 방정식의 해를 풀지 않고도 시스템의 불변 측도(법칙)의 구조에 기반하여 궤적 계산 없이 경계를 도출할 수 있다.
• 적절한 함수해석학적 설정 하에서 소산 시스템, 특히 2차원 및 3차원 비압축성 나비에-스토크스 방정식에 이 프레임워크를 적용한다.
• 보조 함수가 무한차원 설정에서 특정한 하밀토니안-자코비-벨만 형식의 방정식을 만족할 때 최적 경계가 달성됨을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나비에-스토크스 방정식과 같은 소산 무한차원 시스템에서 관측량의 시간 평균 또는 앙상블 평균에 대해 도출할 수 있는 가장 날카로운 가능한 경계는 무엇인가?
• RQ2 유한차원 시스템에서의 최소최대 최적화 프레임워크를 무한차원으로 확장할 수 있는가? 이때 최적성과 이중성 구조는 유지되는가?
• RQ3 해의 명시적 형태를 알지 못한 채로도 시스템의 불변 측도에 기반하여 얼마나 날카로운 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ4 궤적 수준의 정보 없이 시스템의 법칙과 보조 시험 함수 간의 이중성은 어떻게 최적 경계를 도출하는가?
• RQ5 무한차원 위상공간에서 최적 경계를 구성하는 데 실린더형 시험 함수는 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 시간 평균 또는 앙상블 평균에 대한 최적 경계는 위상공간의 부분집합에 대해 최대화하고 실린더형 시험 함수계에 대해 최소화하는 최소최대 공식화를 통해 달성된다.
• 이 방법은 명시적 해 자료가 필요 없이 시스템의 불변 측도 또는 법칙에만 기반하여 날카로운 경계를 도출한다.
• 이 프레임워크는 토바스, 골루스킨, 두어링(2017)이 이전에 확립한 유한차원 최소최대 결과를 2차원 및 3차원 비압축성 나비에-스토크스 방정식 포함한 무한차원 시스템으로 일반화한다.
• 최적 경계는 시스템의 법칙과 보조 함수 도함수 사이의 이중성 곱이 목적 함수에 통합된 형태로 특징지어진다.
• 이 방법은 잘 정의된 불변 측도를 갖는 임의의 소산 무한차원 시스템에 적용 가능하며, 장기 평균 행동을 추정하는 체계적인 방법을 제공한다.
• 이러한 시험 함수계와 시스템 정보를 동일하게 사용할 경우 더 날카로운 경계를 도출할 수 없기 때문에, 도출된 경계는 최적의 성격을 갖는다.