[논문 리뷰] Optimal moral-hazard-free reinsurance under extended distortion premium principles

Zhuo Jin, Zuo Quan Xu외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 18.

Insurance and Financial Risk ManagementEconomics, Econometrics and Finance인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 왜곡 함수가 볼록일 필요가 없는 확장된 왜곡 보험료 원칙 하에서 도덕적 위험을 방지하는 최적의 재보험 계약을 개발한다. 이는 이중 장벽 문제를 통해 존재성과 최적 재보험의 특성을 입증하며, 세 가지 예시에 대해 유의미한 (반)폐쇄형 해를 도출하여, 확산 위험 모델 하에서 인centive 호환성과 최소의 파산 확률을 보장한다.

ABSTRACT

We study an optimal reinsurance problem under a diffusion risk model for an insurer who aims to minimize the probability of lifetime ruin. To rule out moral hazard issues, we only consider moral-hazard-free reinsurance contracts by imposing the incentive compatibility constraint on indemnity functions. The reinsurance premium is calculated under an extended distortion premium principle, in which the distortion function is not necessarily concave. We first show that an optimal reinsurance contract always exists and then derive two sufficient and necessary conditions to characterize it. Due to the presence of the incentive compatibility constraint and the nonconcavity of the distortion, the optimal contract is obtained as a solution to a double obstacle problem. At last, we apply the general result to study three examples and obtain the optimal contract in (semi)closed form.

연구 동기 및 목표

• 손해배상 함수에 대한 인센티브 호환성 조건을 도입하여 재보험에서의 도덕적 위험을 해결한다.
• 비볼록 왜곡 함수를 允허하는 확장된 왜곡 보험료 원칙을 사용하여 재보험 보험료를 모델링한다.
• 확산 위험 모델 하에서 보험사의 평생 파산 확률을 최소화한다.
• 이러한 제약 조건 하에서 최적 재보험의 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 특정 예시에 대해 명시적인 (반)폐쇄형 해를 제공하여 일반 프레임워크의 타당성을 검증한다.

제안 방법

• 도덕적 위험을 제거하기 위해 손해배상 함수에 대해 인센티브 호환성(IC) 제약 조건을 도입하며, 모든 z ≥ z′ ≥ 0 에 대해 0 ≤ I(z) − I(z′) ≤ z − z′ 를 요구한다.
• 비볼록 왜곡 함수 g 와 로딩 요소 θ₀ ≥ 0 를 갖는 확장된 왜곡 보험료 원칙을 사용하여 기존 원칙을 일반화한다.
• 보험사의 위험 과정을 확산 과정으로 모델링하고, 최소화할 목적을 파산 확률 최소화로 설정한다.
• 최적의 유지 손실 함수 H*(z) = z − I*(z) 를 이중 장벽 문제를 통해 특성화하며, 최적의 암묵 미분 방정식(OIDE)을 이끌어낸다.
• 푸비니 정리와 변분 분석을 적용하여 부호 있는 측도 Φ 를 포함한 필요 및 충분 조건을 도출한다.
• 임계값 기반의 구조를 사용하여 OIDE 를 해결한다: H*(z) = min{d, z} 로서, d 는 생존 함수 및 왜곡 함수에 대한 조건에 의해 결정된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보험료가 확장된 왜곡 원칙에 의해 계산될 때, 도덕적 위험을 방지하는 최적의 재보험 계약이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 왜곡 함수가 비볼록이고 IC 제약 조건이 적용될 경우, 최적 재보험 계약은 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 이중 장벽 문제 프레임워크 하에서 최적의 유지 손실 함수 H*(z) 의 구조는 어떠한가?
• RQ4 왜곡 함수의 매개수와 로딩 요소는 최적 재보험 설계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 특정 예시에 대해 최적 계약을 (반)폐쇄형으로 도출할 수 있으며, 그 결과 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 확장된 왜곡 보험료 원칙과 IC 제약 조건 하에서 도덕적 위험을 방지하는 최적의 재보험 계약은 항상 존재한다.
• 최적의 유지 손실 함수 H*(z) 는 이중 장벽 문제를 통해 특성화되며, 이는 최적의 암묵 미분 방정식(OIDE)을 이끈다.
• 최적의 H*(z) 는 임계값 형태를 취한다: H*(z) = min{d, z}, 여기서 d 는 가치 함수의 도함수가 임계값에서 0이 되는 조건에 의해 결정된다.
• 거듭제곱 왜곡 함수 g(p) = p^{1/ρ} 를 갖는 예시에서는 반폐쇄형으로 최적 계약이 도출되며, d 는 생존 함수 및 매개수를 포함한 특정 방정식을 만족한다.
• 최적 계약은 보험사의 유지 손실 도함수 H*(z) 가 Φ(z) < 0 일 때 1, Φ(z) > 0 일 때 0, Φ(z) = 0 일 때 [0,1] 에서 값을 가지며, 이는 OIDE 구조를 확인한다.
• 가치 함수 v(a*) 는 최적의 유지 손실 함수와 왜곡 함수를 포함한 적분으로 표현되며, 최소 파산 확률에 대한 폐쇄형 표현을 제공한다.