[논문 리뷰] Path-Dependent Optimal Stochastic Control and Viscosity Solution of Associated Bellman Equations

Shanjian Tang, Fu Zhang|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 31인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경로에 따라 변하는 동역학과 재귀적 비용 함수를 가진 최적의 확률적 제어 문제에서 유래하는 경로에 따라 변하는 완전 비선형 이阶 편미분방정식에 대한 점성해법 이론을 수립한다. α- Hölder 연속 경로(α ∈ (0, 1/2))에 국한된 새로운 점성해법 개념을 도입하고, Dupire의 기능적 Itô 미적분을 활용하여, 가치 함수가 관련된 경로에 따라 변하는 Bellman 방정식의 유일한 점성해임을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we study the optimal stochastic control problem for a path-dependent stochastic system under a recursive path-dependent cost functional, whose associated Bellman equation from dynamic programming principle is a path-dependent fully nonlinear partial differential equation of second order. A novel notion of viscosity solutions is introduced. Using Dupire's functional Itô calculus, we characterize the value functional of the optimal stochastic control problem as the unique viscosity solution to the associated path-dependent Bellman equation.

연구 동기 및 목표

• 경로에 따라 변하는 완전 비선형 이계 편미분방정식에 대한 점성해법 이론을 개발한다.
• 경로 공간에서 국소 콤���성의 부족과 비연속성 문제를 해결하기 위해, 반경 α ∈ (0, 1/2)의 α-Hölder 연속 경로로 반경을 제한한다.
• 경로에 따라 변하는 최적 확률적 제어 문제의 가치 함수를 관련된 Bellman 방정식의 유일한 점성해로 특성화한다.
• 클래식한 점성해법 이론을 힐버트 공간과 전통적인 매끄러움 가정의 제약을 넘어선 기능적 Itô 미적분 틀로 확장한다.
• 지연과 경로에 따라 변하는 계수를 가진 비-마르코프 최적 제어 문제를 해결하기 위한 엄밀한 기초를 제공한다.

제안 방법

• α ∈ (0, 1/2)에 대해 C^α 공간에 제한된 반경을 이용한 새로운 점성해법 개념을 도입하여, 국소 콤팩트성을 확보하면서도 비연속성을 관리한다.
• Dupire의 기능적 Itô 미적분을 적용하여, 동적 프로그래밍 원리로부터 경로에 따라 변하는 Bellman 방정식을 유도한다.
• 기능적 Itô 공식을 사용하여 가치 함수를 경로에 따라 변하는 PDE와 연결함으로써, 비-마르코프 시스템의 분석을 가능하게 한다.
• 편미분 기반의 근사 및 극한 절차를 통해, 기능적 설정에서 점성해법의 비교 및 존재 정리를 수립한다.
• 유일성 증명을 위해 모순에 기반한 방법을 사용하며, 정밀하게 구성된 시험 함수와 가치 함수의 증분에 대한 추정을 활용한다.
• SDE 해의 α-Hölder 연속성(보조정리 7.1)을 활용하여 경로의 정규성을 제어하고 점성해법 프레임워크를 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로 공간이 국소 콤팩트성이 없고 Supremum 노름이 비연속일 경우, 경로에 따라 변하는 완전 비선형 PDE에 대해 점성해법은 어떻게 정의될 수 있는가?
• RQ2 경로에 따라 변하는 최적 확률적 제어 문제의 가치 함수는 관련된 Bellman 방정식의 점성해로 특성화될 수 있는가?
• RQ3 Dupire의 기능적 Itô 미적분은 어떻게 경로에 따라 변하는 Bellman 방정식의 수립과 해법에 기여하는가?
• RQ4 클래식한 점성해법 이론은 정규성이 제한된 무한차원 경로 공간에 어떻게 적응될 수 있는가?
• RQ5 경로에 따라 변하는 확률적 제어의 맥락에서 점성해법의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 경로에 따라 변하는 최적 확률적 제어 문제의 가치 함수는 관련된 경로에 따라 변하는 Bellman 방정식의 유일한 점성해이다.
• α ∈ (0, 1/2)에 대해 C^α 공간에 제한된 반경을 이용한 새로운 점성해법 개념이 도입되었으며, 이는 비콤팩트성과 비연속성 문제를 해결한다.
• 유일성 증명은 편미분된 시험 함수와 가치 함수의 증분에 대한 추정을 활용한 모순에 기반한다.
• 균일 립시츠 조건 하에서 경로에 따라 변하는 SDE의 해에 대해 α-Hölder 연속성을 확립하였으며, 큰 Hölder 노름의 확률은 T^{(1/2−α)p}μ^{-p} 비례로 감소한다.
• 이 프레임워크는 클래식한 점성해법 이론을 비-마르코프 설정, 즉 지연 SDE와 재귀적 경로에 따라 변하는 비용 함수에까지 확장한다.
• 결과적으로 동적 프로그래밍 원리가 잘 정의된 경로에 따라 변하는 Bellman 방정식을 도출하며, 이는 점성해법의 관점에서 해가 존재함을 확인한다.