[논문 리뷰] Pathwise Uniform Convergence of Time Discretisation Schemes for SPDEs

Katharina Klioba, Mark Veraar|arXiv (Cornell University)|2023. 03. 01.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 59인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비포물선(하이퍼볼릭) 연산자를 갖는 반선형 스토크라스틱 편미분방정식에 대한 시간 이산화 방법에서 경로에 따른 균일 수렴 속도의 최적성과를 확립한다. 추가/곱셈형 가우시안 노이즈를 고려하며, 힐버트 공간 $X$와 $Y$를 사용한 카토 유형 설정을 통해, 균일 강한 오차 $\mathbb{E}\left[\sup_{j}\|U(t_j)-U^j\|^{p}\right]^{1/p}$의 경계를 도출한다. 암시적 오일러 방법을 사용할 경우, 암시적 오일러 방법은 $S$가 (준)수축성일 경우 로그 인자를 제거한 $\lesssim k$ 수렴 속도를 달성한다. 이 결과들은 맥스웰, 슈뢰딩거, 파동 방정식에 대한 기존 연구를 통합하고 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove convergence rates for time discretisation schemes for semi-linear stochastic evolution equations with additive or multiplicative Gaussian noise, where the leading operator $A$ is the generator of a strongly continuous semigroup $S$ on a Hilbert space $X$, and the focus is on non-parabolic problems. The main results are optimal bounds for the uniform strong error $$\mathrm{E}_{k}^{\infty} := \Big(\mathbb{E} \sup_{j\in \{0, \ldots, N_k\}} \|U(t_j) - U^j\|^p\Big)^{1/p},$$ where $p \in [2,\infty)$, $U$ is the mild solution, $U^j$ is obtained from a time discretisation scheme, $k$ is the step size, and $N_k = T/k$. The usual schemes such as the exponential Euler, the implicit Euler, and the Crank-Nicolson method, etc. are included as special cases. Under conditions on the nonlinearity and the noise, we show - $\mathrm{E}_{k}^{\infty}\lesssim k \sqrt{\log(T/k)}$ (linear equation, additive noise, general $S$); - $\mathrm{E}_{k}^{\infty}\lesssim \sqrt{k} \sqrt{\log(T/k)}$ (nonlinear equation, multiplicative noise, contractive $S$); - $\mathrm{E}_{k}^{\infty}\lesssim k \sqrt{\log(T/k)}$ (nonlinear wave equation, multiplicative noise) for a large class of time discretisation schemes. The logarithmic factor can be removed if the exponential Euler method is used with a (quasi)-contractive $S$. The obtained bounds coincide with the optimal bounds for SDEs. Most of the existing literature is concerned with bounds for the simpler pointwise strong error $$\mathrm{E}_k:=\bigg(\sup_{j\in \{0,\ldots,N_k\}}\mathbb{E} \|U(t_j) - U^{j}\|^p\bigg)^{1/p}.$$ Applications to Maxwell equations, Schrödinger equations, and wave equations are included. For these equations, our results improve and reprove several existing results with a unified method and provide the first results known for the implicit Euler and the Crank-Nicolson method.

연구 동기 및 목표

• 비포물선(하이퍼볼릭) SPDE에 대해 추가 또는 곱셈형 노이즈를 갖는 시간 이산화 방법의 최적 수렴 속도를 확립하는 것.
• 기존 문헌의 격차를 메우기 위해, 점별 오차보다 경로의 질을 더 잘 반영하는 경로에 따른 균일 강한 오차 $\mathbb{E}\left[\sup_j \|U(t_j)-U^j\|^{p}\right]^{1/p}$에 초점을 맞추는 것.
• 암시적 오일러, 크랭크-니콜슨, 지수 오일러 방법에 대한 기존 결과를 맥스웰, 슈뢰딩거, 파동 방정식 전반에 걸쳐 통합하고 확장하는 것.
• 경로에 따른 균일 오차 제어 하에, 암시적 오일러 및 크랭크-니콜슨 방법에 대해 기존에 알려지지 않은 수렴 속도를 제공하는 것.
• 특정 조건 하에, (준)수축성 $S$ 하에서 지수 오일러 방법을 사용하여 수렴 경계의 로그 인자를 제거하거나 최소화하는 것.

제안 방법

• 두 힐버트 공간 $X$와 $Y$ ($Y \hookrightarrow X$)를 사용한 카토 유형 프레임워크를 도입하여, 미약해의 정(regularity)과 비선형성의 특성을 유도한다.
• 시간 이산화 방법은 $U^j = R_k U^{j-1} + k R_k F(U^{j-1}) + R_k G(U^{j-1}) \Delta W_j$로 표현되며, $R_k$는 $S(k)$의 수렴 근사이다.
• 핵심 추정은 스토크라스틱 최대 $L^p$-정규성, 스토크라스틱 콘볼루션 경계, 그리고 소볼레프 포함을 통해 비선형성 $F$와 $G$를 $Y$-공간 내에서 제어하는 데 기반한다.
• 해 $U$와 그 이산 근사 $U^j$에 대한 사전 경계를 활용하여, $R_k$의 수축성과 $Y$에서의 근사 순서 $\alpha$를 이용해 증명을 수행한다.
• 지수 오일러 방법의 정밀한 분석을 통해, (준)수축성 성질을 활용하여 수렴 속도의 로그 인자를 제거한다.
• 이 프레임워크는 $C_0$-반군의 생성자 $A$를 갖는 추상 SPDE에 적용 가능하며, 적절한 $X$, $Y$, $A$ 선택을 통해 파동, 맥스웰, 슈뢰딩거 방정식을 모두 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가 또는 곱셈형 노이즈를 갖는 비포물선 SPDE에서 시간 이산화 방법의 최적 경로에 따른 균일 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 특정 방법인 지수 오일러 방법이 (준)수축성 반군 하에서 수렴 경계의 로그 인자를 제거할 수 있는가?
• RQ3 경로에 따른 균일 오차 제어 하에서, 암시적 오일러 및 크랭크-니콜슨 방법의 수렴 속도는 하이퍼볼릭 설정에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 결과들이 맥스웰, 슈뢰딩거, 파동 방정식에 대한 기존 결과를 얼마나 잘 통합하고 확장하는가?
• RQ5 포물선 정규화 없이, 두 공간 $X$와 $Y$를 사용한 카토 유형 프레임워크가 균일 강한 오차에 대해 날카로운 경계를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 일반 $C_0$-반군 $S$를 갖는 선형 SPDE에 대해 추가 노이즈가 있는 경우, 균일 강한 오차는 $\mathbb{E}\left[\sup_j \|U(t_j)-U^j\|^{p}\right]^{1/p} \lesssim k \log(T/k)$를 만족한다.
• 수축성 반군 $S$를 갖는 비선형 SPDE에 대해 곱셈형 노이즈가 있는 경우, 균일 강한 오차는 $\lesssim \sqrt{k} \log(T/k)$로 경계된다.
• 곱셈형 노이즈가 있는 비선형 파동 방정식의 경우, 균일 강한 오차는 $\lesssim k \log(T/k)$로 경계된다.
• 지수 오일러 방법은 $S$가 (준)수축성일 경우 로그 인자를 제거하여 $\lesssim k$ 수렴 속도를 달성한다.
• 암시적 오일러 및 크랭크-니콜슨 방법의 수렴 속도는 각각 $k^{\delta/2}$ 및 $k^{\min(2\delta/3,1)}$이며, $\delta \in (1,2]$는 노이즈의 정규성 정도를 제어한다.
• 결과들은 기존 SDE의 경계를 복원하고 개선하며, 하이퍼볼릭 SPDE 설정에서 암시적 오일러 및 크랭크-니콜슨 방법에 대해 처음으로 경로에 따른 균일 수렴 속도를 제공한다.