[논문 리뷰] Physical Realizability and Mean Square Performance of Translation Invariant Networks of Interacting Linear Quantum Stochastic Systems

Igor G. Vladimirov, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 15.

Quantum optics and atomic interactions참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일차원 또는 다차원 격자에서 가장 가까운 이웃 상호작용을 갖는 선형 양자 확률 시스템의 이동 불변 네트워크에 대해 행렬 대수적 제약 조건을 사용하여 물리적 실현 가능성 조건을 수립한다. 열역학적 한계에서 공간 푸리에 변환과 Grenander-Szegő 정리를 사용하여 단위 면적당 평균 제곱 성능 기능을 유도하며, 이는 대규모 양자 메타물질과 개방계 양자 조화 진동자 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with translation invariant networks of linear quantum stochastic systems with nearest neighbour interaction mediated by boson fields. The systems are associated with sites of a one-dimensional chain or a multidimensional lattice and are governed by coupled linear quantum stochastic differential equations (QSDEs). Such interconnections of open quantum systems are relevant, for example, to the phonon theory of crystalline solids, atom trapping in optical lattices and quantum metamaterials. In order to represent a large-scale open quantum harmonic oscillator, the coefficients of the coupled QSDEs must satisfy certain physical realizability conditions. These are established in the form of matrix algebraic equations for the parameters of an individual building block of the network and its interaction with the neighbours and external fields. We also discuss the computation of mean square performance functionals with block Toeplitz weighting matrices for such systems in the thermodynamic limit per site for unboundedly increasing fragments of the lattice.

연구 동기 및 목표

• 격자에서 상호작용하는 선형 양자 확률 시스템의 대규모 네트워크에 대한 물리적 실현 가능성 조건을 수립하기 위해.
• 열역학적 한계에서 블록 토플리츠 가중치 행렬을 갖는 평균 제곱 성능 기능을 분석하기 위해.
• 일반화된 양자 선형 제곱 가우시안 제어 이론을 이동 불변 양자 네트워크로 확장하기 위해.
• 양자 메타물질과 양자 네트워크를 위한 분산형 CQLQG 제어기 설계를 가능하게 하기 위해.
• 주기적인 배열에서 개방계 양자 조화 진동자의 역학을 연립 양자 확률 미분 방정식을 사용하여 형식화하기 위해.

제안 방법

• 근처 이웃 상호작용을 갖는 격자 위의 개방계 양자 조화 진동자를 모델링하기 위해 연립 선형 양자 확률 미분 방정식(QSDEs)을 사용한다.
• QSDEs에 공간 푸리에 변환을 적용하여 다차원 격자를 위한 토러스로 매개변수화된 공간 주파수 도메인으로 시스템을 변환한다.
• 단위 연산에 따른 캐논리컬 교환관계가 유지되도록 보장함으로써 물리적 실현 가능성에 대한 행렬 대수적 조건을 도출한다.
• 이동 불변성을 반영하는 블록 토플리츠 가중치 행렬을 도입하여 평균 제곱 성능 기능을 계산한다.
• 원형 샘플링 정리와 Grenander-Szegő 극한 정리를 적용하여 열역학적 한계에서의 정적 상태 성능을 단위 면적당로 계산한다.
• 유한한 격자 조각에 주기적 경계 조건을 적용하여 무한한 시스템을 모델링하고 스펙트럼 밀도 기반 성능 지표를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 불변 네트워크의 선형 양자 확률 시스템 격자에서 물리적 실현 가능성 보장에 필요한 행렬 대수적 조건은 무엇인가?
• RQ2 열역학적 한계에서 이러한 네트워크에 대해 블록 토플리츠 가중치를 갖는 평균 제곱 성능 기능은 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 공간 푸리에 변환은 대규모 양자 네트워크의 동역학 및 안정성 분석에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 시스템 전달 함수의 스펙트럼 성질은 열역학적 한계에서의 성능과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 경계가 무한히 증가하는 조각에서 단위 면적당 성능은 격자 크기와 독립적으로 계산될 수 있는가?

주요 결과

• 물리적 실현 가능성은 단일 빌딩 블록과 그 가장 가까운 이웃 상호작용의 해밀토니언, 결합 및 산란 매개변수에 대한 행렬 대수적 제약 조건을 통해 보장된다.
• 단위 면적당 평균 제곱 성능 기능은 열역학적 한계에서 유한한 값으로 수렴하며, 이는 토러스 상의 스펙트럼 밀도에 적용된 Grenander-Szegő 극한 정리를 통해 계산된다.
• 공간 푸리에 변환은 격자 시스템을 공간 주파수로 매개변수화된 분리된 시스템의 집합으로 줄여, 주파수 도메인 분석을 가능하게 한다.
• 유도된 성능 지표는 큰 조각에서 격자 크기와 독립적이며, 열역학적 한계 근사의 타당성을 검증한다.
• 이 방법은 확장 가능한 성능 지표를 제공하므로 분산형 CQLQG 제어기 설계를 가능하게 한다.
• 유도된 조건은 다차원 격자로 일반화되며, 수정된 경계 조건과 이중 변수 토러스 상에 정의된 전달 함수 행렬을 포함한다.