[논문 리뷰] PI regulation control of a 1-D semilinear wave equation

Hugo Lhachemi, Christophe Prieur외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 18.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 44인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경계 제어를 통해 오른쪽 노이만 트레이스를 이용하여 1차원 비선형 파동 방정식의 왼쪽 노이만 트레이스에 대해 비례-적분(PID) 제어 법칙을 제안한다. 대부분의 모드를 안정화하기 위해 사전 속도 피드백을 적용하고, 불안정 모드의 리에스 기저에 대한 궤적의 투영을 통해 유한차원 확장 모델을 설계함으로써, 리아푸노프 분석을 통해 국소 지수 안정성과 설정값 조절을 입증한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the Proportional Integral (PI) regulation control of the left Neu-mann trace of a one-dimensional semilinear wave equation. The control input is selected as the right Neumann trace. The control design goes as follows. First, a preliminary (classical) velocity feedback is applied in order to shift all but a finite number of the eivenvalues of the underlying unbounded operator into the open left half-plane. We then leverage on the projection of the system trajectories into an adequate Riesz basis to obtain a truncated model of the system capturing the remaining unstable modes. Local stability of the resulting closed-loop infinite-dimensional system composed of the semilinear wave equation, the preliminary velocity feedback, and the PI controller, is obtained through the study of an adequate Lyapunov function. Finally, an estimate assessing the set point tracking performance of the left Neumann trace is derived.

연구 동기 및 목표

• 1차원 비선형 파동 방정식의 왼쪽 노이만 트레이스를 경계 제어를 통해 조절하는 문제에 대응하기 위해.
• 유계가 아닌 제어 연산자와 비선형성을 가진 무한차원 시스템에 대해 PI 제어 설계를 확장하기 위해.
• 불안정 모드가 존재하는 상황에서도 왼쪽 노이만 트레이스의 국소 지수 안정성과 설정값 조절을 보장하기 위해.
• 무한차원 시스템에 대해 속도 피드백, 리에스 기저 투영, PI 보정을 조합한 체계적인 제어 설계를 개발하기 위해.

제안 방법

• 유계가 아닌 연산자의 대부분의 고유값을 열린 왼쪽 반평면으로 이동시키기 위해 사전 속도 피드백을 적용한다.
• 유계가 아닌 연산자의 일반화된 고유구조로 이루어진 리에스 기저에 대해 시스템 궤적을 투영하여 불안정 모드의 유한차원 단순화 모델을 유도한다.
• 설정값 조절을 위한 PI 제어기 형성 목적의 단순화 모델에 적분 성분을 추가한다.
• 닫힌 루프 무한차원 시스템의 국소 지수 안정성을 입증하기 위해 리아푸노프 함수를 사용한다.
• 리아푸노프 분석 기반으로 왼쪽 노이만 트레이스의 설정값 추적 성능에 대한 추정치를 유도한다.
• 스펙트럼 분석과 점근적 고유값 전개를 활용하여 리에스 기저의 구조와 기준 기저로부터의 변화를 정당화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계가 아닌 제어 연산자를 가진 1차원 비선형 파동 방정식의 노이만 트레이스에 대해 PI 제어가 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 비선형 파동 방정식의 불안정 모드는 어떻게 리에스 기저에서 유도된 유한차원 근사에 의해 포착되고 안정화될 수 있는가?
• RQ3 비선형성과 경계 제어가 존재하는 상황에서 국소 안정성과 설정값 조절을 동시에 보장하는 제어 구조는 무엇인가?
• RQ4 속도 피드백과 PI 제어의 조합이 닫힌 루프 시스템의 스펙트럼 성질과 안정성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 제어 설계는 비선형 파동 방정식, 속도 피드백, PI 제어기로 구성된 닫힌 루프 시스템의 국소 지수 안정성을 보장한다.
• 리에스 기저 투영은 불안정 모드의 정확한 유한차원 근사화를 가능하게 하여 제어기 설계를 용이하게 한다.
• 왼쪽 노이만 트레이스의 설정값 추적 성능에 대한 추정치가 도출되었으며, 이는 조절 정확도를 정량화한다.
• 닫힌 루프 시스템의 고유값이 기하학적으로 단순하고 기준 리에스 기저와 이차적으로 가까운 것으로 나타나 스펙트럼 구조의 강건성을 보장한다.
• 실수 고유값의 대수적 중복도가 홀수임을 증명하여 안정성 분석 프레임워크를 뒷받침한다.