[논문 리뷰] Power maps in algebra and topology

Kathryn Hess|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 호크시ลด 복합체를 튜이스팅 코체인의 통합된 대수적 프레임워크로 도입하여 호크시ลด 및 코호크시ลด 복합체를 일반화한다. 체인 호프 대수에 대해 자연스러운 거듭제곱 사상들을 구축하며, 대수적 구조가 코통위성적이거나 이중 스투션에서 유도될 경우 이러한 사상들이 자유 루프 공간 위의 위상적 거듭제곱 사상과 일치함을 보여, 위상수학적 순환 호프 이론의 체인 모델을 위한 핵심 대수적 도구를 제공한다.

ABSTRACT

Given any twisting cochain t:C -->A, where C is a connected, coaugmented chain coalgebra and A is an augmented chain algebra over an arbitrary PID R, we construct a twisted extension of chain complexes A --> H(t) --> C. We show that both the well-known Hochschild complex of an associative algebra and the coHochschild complex of a coassociative coalgebra are special cases of H(t), which we therefore call the Hochschild complex of t. We explore the extent of the naturality of the Hochschild complex construction and apply the results of this exploration to determining conditions under which H(t) admits multiplicative or comultiplicative structure. In particular, we show that the Hochschild complex on a chain Hopf algebra always admits a natural comultiplication. Furthermore, when A is a chain Hopf algebra, we determine conditions under which H(t) admits an rth-power map extending the usual rth-power map on A and lifting the identity on C. As special cases, we obtain that both the Hochschild complex of any cocommutative Hopf algebra and the coHochschild complex of the normalized chain complex of a double suspension admit power maps. We show moreover that if K is a double suspension, then the power map on the coHochschild complex of the normalized chain complex of K is a model of the topological power map on the space of free loops on the realization of K, illustrating the topological relevance of our algebraic construction.

연구 동기 및 목표

• 튜이스팅 코체인을 통한 하나의 구성으로 호크시ลด 및 코호크시ลด 복합체를 통합하는 것.
• 기본적인 루프 공간 위의 전형적 r제곱 사상으로 확장되는 호크시ลด 복합체 위의 거듭제곱 사상을 정의하고 연구하는 것.
• 체인 호프 대수의 호크시ลด 복합체가 자연스러운 곱셈 또는 쌍대곱셈 구조를 갖는 조건을 확립하는 것.
• 이중 스투션 X에 대해, X의 정규화된 체인 복합체의 코호크시ลด 복합체가 자유 루프 공간 L(X) 위의 위상적 거듭제곱 사상을 모델링함을 보이는 것.

제안 방법

• C가 코강화 코알제브라이고 A가 PID R 위의 강화 대수일 때, 튜이스팅 코체인 t:C→A로부터 얻어지는 복합체의 외부 확장으로서 호크시ลด 복합체 H(t)를 구성한다.
• H(t)가 대수의 호크시ลด 복합체와 코알제브라의 코호크시ลด 복합체를 모두 일반화함을 보인다.
• A가 체인 호프 대수일 경우 H(t)가 자연스럽게 쌍대곱셈을 갖는다는 것을 증명한다.
• H(t)가 A 위의 표준적 r제곱 사상을 확장하고 C 위의 항등사상을 끌어올리는 r제곱 사상을 지닌 충분한 조건을 확립한다.
• 단순연결된 이중 스투션 X에 대해, 자유 루프 공간 L(X) 위의 위상적 거듭제곱 사상을 모델링하는 엔도모르피즘 λ̃_r를 지닌 작은 체인 복합체 fls*(X)를 정의한다.
• 단순체인 및 호모토피적 구성 기법을 사용하여 fls*(X) 위의 대수적 거듭제곱 사상과 자유 루프 공간 위의 위상적 거듭제곱 사상 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 튜이스팅 코체인의 호크시ลด 복합체가 쌍대곱셈 구조를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 튜이스팅 코체인의 호크시ลด 복합체가 기본 대수 위의 전형적 거듭제곱 사상을 확장하고 코알제브라 위의 항등사상을 끌어올리는 r제곱 사상을 지닐 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 호크시ลด 복합체의 대수적 구성이 이중 스투션의 자유 루프 공간 위의 위상적 거듭제곱 사상을 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ4 이중 스투션의 정규화된 체인 복합체의 코호크시ลด 복합체와 그 자유 루프 공간 위의 위상적 거듭제곱 사상 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 fls*(X) 위의 대수적 거듭제곱 사상이 L(X) 위의 위상적 거듭제곱 사상의 체인 모델인 것은 어떤 의미인가?

주요 결과

• 모든 튜이스팅 코체인 t:C→A에 대해, A가 체인 호프 대수일 경우 호크시ลด 복합체 H(t)는 자연스러운 쌍대곱셈을 갖는다.
• 코통위성 체인 호프 대수 A에 대해, 호크시ลด 복합체 H(t)는 A 위의 표준적 r제곱 사상을 확장하고 C 위의 항등사상을 끌어올리는 r제곱 사상을 갖는다.
• X가 단순연결된 이중 스투션일 경우, X의 정규화된 체인 복합체의 코호크시ลด 복합체는 자유 루프 공간 L(X) 위의 위상적 거듭제곱 사상을 모델링한다.
• 작은 체인 복합체 fls*(X) 위의 엔도모르피즘 λ̃_r는 호몰로지에서 자유 루프 공간 위의 위상적 r제곱 사상과 동일한 사상을 유도한다. 즉, H*(λ̃_r) ≅ H*(λ_top^r).
• 이 구성은 위상적 거듭제곱 사상의 체인 수준 모델을 제공하며, 이는 위상수학적 순환 호프 이론의 체인 모델을 구축하는 데 필수적이다.
• fls*(X) 위의 거듭제곱 사상은 자유 루프 공간의 피브레이션 시퀀스의 구조와 호환되며, 위상적 구성의 호모토피적 맥락을 유지한다.