[논문 리뷰] Pricing American options using martingale bases

Jérôme Lelong|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 미리 정의된 균일한 제곱 integrable 마링갈을 근사하기 위해 위너 카오스 전개를 사용하는 새로운 이중 방법을 제안한다. 이를 통해 표본 평균 근사법을 통해 효율적이고 확장 가능하며 경로에 의존하는 옵션 가격 산정이 가능해진다. 이 방법은 높은 성능과 병렬 확장성을 달성하여, 512개의 코어에서 계산 시간을 한 시간 이상에서 11초 이내로 줄였으며, 40개 자산 옵션을 3% 이내의 상대 오차로 3분 이내에 정확하게 가격 산정한다.

ABSTRACT

In this work, we propose an algorithm to price American options by directly solving the dual minimization problem introduced by Rogers. Our approach relies on approximating the set of uniformly square integrable martingales by a finite dimensional Wiener chaos expansion. Then, we use a sample average approximation technique to efficiently solve the optimization problem. Unlike all the regression based methods, our method can transparently deal with path dependent options without extra computations and a parallel implementation writes easily with very little communication and no centralized work. We test our approach on several multi--dimensional options with up to 40 assets and show the impressive scalability of the parallel implementation.

연구 동기 및 목표

• 차원의 저주와 회귀 기반 제약을 피하면서도 이중 기반 알고리즘을 통해 미국형 옵션을 가격 산정할 수 있는 방법을 개발한다.
• 추가적인 계산 비용 없이 경로 의존 옵션을 투명하게 처리할 수 있도록 한다.
• 고차원 문제에 대해 병렬 컴퓨팅 환경에서 높은 확장성을 달성한다.
• 이중 문제를 위한 유한 차원, 볼록, 미분 가능한 최적화 프레임워크를 제공한다.
• 이 방법이 40차원에 이르는 다자산, 경로 의존 옵션에 대해 효율성과 정확성을 입증한다.

제안 방법

• 유한 차원 마링갈의 공간을 잘라낸 위너 카오스 전개를 사용하여 균일한 제곱 적분 가능한 마링갈을 근사함으로써 최적화를 정규화하고 조건부 기대값의 정확한 계산을 가능하게 한다.
• 이중 최적화 문제를 위너 카오스 전개의 계수에 대한 유한 차원, 볼록, 미분 가능한 문제로 재구성한다.
• 표본 평균 근사(SAA) 기법을 사용하여 몬테카를로 샘플링을 활용해 최적화 문제를 효율적으로 해결한다.
• 알고리즘은 순수 MPI 환경에서 구현되어 세밀한 병렬 처리가 가능하며, 통신 최소화와 중앙 집중식 버팀목 없이 작동한다.
• 위너 카오스 전개가 조건부 기대값의 정확한 계산을 가능하게 하여, 회귀 근사의 필요성을 피하는 데 활용된다.
• 이 방법은 최대 40개의 기초 자산과 다양한 변동성 및 상관관계를 가진 기하 평균 바스켓 풋 옵션에 대해 시험하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 차원 마링갈 근사법을 사용하여 고차원 문제에 대해 확장 가능하고 효율적인 이중 접근법이 미국형 옵션 가격 산정에 적용될 수 있는가?
• RQ2 위너 카오스 전개의 사용이 이중 최적화 문제의 조건 수와 구현 가능성에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 이 방법은 계산 비용 증가 없이 복잡한 경로 의존 수익 구조를 어느 정도 잘 처리할 수 있는가?
• RQ4 고차원 옵션에 대해 수천 개의 CPU 코어에서 병렬 구현의 확장성은 어떠한가?
• RQ5 SAA에서 샘플 수가 많아질수록 수렴성과 정확도에 어떤 영향을 미치며, 특히 고차원 설정에서 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 40개 자산 기하 평균 바스켓 풋 옵션을 3분 이내에 3% 이내의 상대 오차로 정확하게 가격 산정하여 고차원 문제에 대한 뛰어난 성능을 입증했다.
• 190노드 슈퍼컴퓨터(3204개 코어)에서 512개 코어를 사용하여 계산 시간을 4365초(1시간 13분)에서 10.7초로 단축시켰으며, 이는 59%의 효율성을 달성한 것이다.
• 128개 코어를 사용할 경우 런타임이 52초로 줄었고, 이는 73%의 효율성을 보였다. 이는 뛰어난 확장성을 보여준다.
• 10개 자산 옵션에 대해선 두 번째 차수의 위너 카오스 근사가 초당 정확한 결과를 도출하여 전통적인 이중 방법을 능가했다.
• 샘플 수가 위너 카오스 전개 계수의 수보다 너무 적을 경우(예: m=40, d=40, p=2) 과적합이 관찰되어 약간의 가격 저하가 발생했다.
• 이 방법은 회귀 기반 접근법과 달리 추가적인 계산 오버헤드 없이 자연스럽게 경로 의존 옵션을 처리할 수 있다.