[논문 리뷰] Pricing multi-asset derivatives by finite difference method on a quantum computer

Koichi Miyamoto, Kenji Kubo|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 49인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한차분법(FDM) 기반의 다자산 파생상품 가격 정책을 양자선형시스템알고리즘(QLSA)을 활용하여 고전적 FDM 대비 지수적 속도 향상을 달성함으로써 양자 알고리즘을 제안한다. 이는 블랙-숄즈 PDE를 해결함으로써 다중 자산 공간에서의 고차원적 경계 조건(예: 바리어 옵션에서의 것들)을 정밀하게 처리할 수 있으며, 고차원 자산 공간에서의 차원의 고통을 극복한다.

ABSTRACT

Following the recent great advance of quantum computing technology, there are growing interests in its applications to industries, including finance. In this paper, we focus on derivative pricing based on solving the Black-Scholes partial differential equation by finite difference method (FDM), which is a suitable approach for some types of derivatives but suffers from the {\it curse of dimensionality}, that is, exponential growth of complexity in the case of multiple underlying assets. We propose a quantum algorithm for FDM-based pricing of multi-asset derivative with exponential speedup with respect to dimensionality compared with classical algorithms. The proposed algorithm utilizes the quantum algorithm for solving differential equations, which is based on quantum linear system algorithms. Addressing the specific issue in derivative pricing, that is, extracting the derivative price for the present underlying asset prices from the output state of the quantum algorithm, we present the whole of the calculation process and estimate its complexity. We believe that the proposed method opens the new possibility of accurate and high-speed derivative pricing by quantum computers.

연구 동기 및 목표

• 다자산 파생상품 가격 정책에 있어 고전적 유한차분법(FDM)이 자산 수에 따라 지수적 복잡도를 보이는 차원의 고통 문제를 해결한다.
• 특히 연속 경계 조건이 있는 복잡한 파생상품(예: 히든 바리어 옵션)의 정확하고 효율적인 가격 정책을 가능하게 하며, 이는 이산화로 인해 제한을 받는 몬테카를로 방법의 한계를 극복한다.
• 고차원 자산 공간에서 블랙-숄즈 PDE를 해결하기 위해 양자선형시스템해결기(QLS)를 FDM과 통합한 양자 알고리즘을 개발한다.
• 출력되는 양자 상태로부터 현재 자산 가격에서의 파생상품 가격을 실질적으로 추출할 수 있도록 보장하는 것은 양자 금융 응용 분야에서의 핵심 과제이다.
• 상태 준비, 양자 확률 추정, 오차 제어를 포함한 전체 양자 알고리즘의 복잡도 한계를 설정한다.

제안 방법

• 다자산 블랙-숄즈 PDE를 경계 조건이 있는 고차원 시간에 의존하는 PDE로 공식화하고, 구조화된 격자 위에서 유한차분법(FDM)으로 이산화한다.
• FDM 이산화를 큰 희박 선형계로 표현하며, 이때 해 벡터는 격점에서의 파생상품 가격을 나타낸다.
• 고전적 방법 대비 자산 수 d에 대해 지수적 속도 향상을 달성하기 위해 선형계를 해결하기 위한 양자 알고리즘(QLSA)을 적용한다.
• 출력되는 양자 상태로부터 현재 자산 가격에서의 파생상품 가격을 추출하기 위해 양자 확률 추정(QAE)을 사용하여 고정밀도 출력을 보장한다.
• 초기 수익 및 경계 조건을 양자 상태에 인코딩하기 위해 수정된 양자 상태 준비 절차를 도입하여, 만기에서 현재로의 역방향 해를 정확히 구현한다.
• 정밀도 매개변수(ε₁, ε₂, εΨ)를 철저히 조정하여 알고리즘 오차를 통제하고, 최종 출력 오차가 ε 이내로 제한되도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복잡한 경계 조건을 가진 다자산 파생상품에 대해 고전적 FDM 대비 양자 알고리즘이 지수적 속도 향상을 제공할 수 있는가?
• RQ2 PDE를 푸는 데서 유도된 양자 상태 출력에서 현재 기초 자산 가격에서의 파생상품 가격을 어떻게 측정할 수 있는가?
• RQ3 상태 준비, 선형계 해결, 확률 추정을 포함한 전체 FDM 기반 파생상품 가격 정책 파이프라인의 총 양자 복잡도는 얼마인가?
• RQ4 오차 매개변수(ε₁, ε₂, εΨ)는 파생상품 가격 추정의 최종 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 연속 경계 조건을 정확히 구현할 수 있다는 점에서, 제안된 방법이 몽테카를로 방법에 비해 바리어 옵션과 같은 복잡한 파생상품을 더 효과적으로 처리할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 양자 알고리즘은 고전적 FDM 대비 자산 수 d에 대해 지수적 속도 향상을 달성한다. 이는 차원의 고통으로 인해 고전적 방법이 지수적 복잡도를 보이는 데 기인한다.
• 알고리즘의 총 복잡도는 오차 ε을 달성하기 위해 O(1/ε)이며, 주요 비용은 양자 확률 추정과 양자 선형계 해결에서 기인한다. 상태 준비 및 PDE 이산화 과정은 효율적으로 인코딩된다.
• 경계 조건을 양자 상태 준비 과정에 통합함으로써 연속 경계 조건(예: 히든 바리어 옵션에서의 것들)을 성공적으로 처리한다. 이는 고전적 몽테카를로 시뮬레이션에서 정확히 구현하기 어려운 과제이다.
• 최종 파생상품 가격은 오차가 제한된 양자 확률 추정을 통해 추출되며, Eq. (160)에 의해 보여지듯이 출력 ω는 진짜 가격 e⁻ʳᵀ·p·Ỹ(τ_ter)와 O(ε) 오차 이내로 근사된다.
• 알고리즘의 복잡도는 O(∥F∥/ε)로 제한되며, 여기서 ∥F∥는 PDE 계수와 격자 크기에 비례한다. 오차 제어는 다중 정밀도 매개변수(ε₁, ε₂, εΨ)를 통해 철저히 분석된다.
• 이론적 분석은 양자 상태 준비 및 해법 과정이 위상 일관성과 정확도를 유지함을 확인하며, 해의 성장 및 감쇠에 대한 가정을 통해 정규화 인자 Z가 유계임을 보여준다.