[논문 리뷰] Pricing Financial Derivatives with Exponential Quantum Speedup

Javier Gonzalez-Conde, Ángel Rodríguez‐Rozas외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 37인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유럽형 옵션의 블랙-숄즈 방정식을 양자 컴퓨터에서 해밀토니안 시뮬레이션을 사용하여 해결하는 디지털 양자 알고리즘을 제시한다. 비에르미트 동역학을 보다 큰 하이젠베르크 공간에 하나의 보조 큐비트를 사용해 통합함으로써 지수적 속도 향상을 달성하고, 두 번째 보조 큐비트를 통해 주기적 경계 조건을 구현한다. 이 방법은 10 큐비트와 94개의 엔터빙 게이트로 고전적 수준의 정확도를 달성하며, 후선택 성공 확률이 60%를 초과한다.

ABSTRACT

Pricing financial derivatives, in particular European-style options at different time-maturities and strikes, is a relevant financial problem. The dynamics describing the price of vanilla options when constant volatilities and interest rates are assumed, is governed by the Black-Scholes model, a linear parabolic partial differential equation with terminal value given by the pay-off of the option contract and no additional boundary conditions. Here, we present a digital quantum algorithm to solve Black-Scholes equation on a quantum computer for a wide range of relevant financial parameters by mapping it to the Schr\\"odinger equation. The non-Hermitian nature of the resulting Hamiltonian is solved by embedding the dynamics into an enlarged Hilbert space, which makes use of only one additional ancillary qubit. Moreover, we employ a second ancillary qubit to transform initial condition into periodic boundary conditions, which substantially improves the stability and performance of the protocol. This algorithm shows a feasible approach for pricing financial derivatives on a digital quantum computer based on Hamiltonian simulation, technique which differs from those based on Monte Carlo simulations to solve the stochastic counterpart of the Black Scholes equation. Our algorithm remarkably provides an exponential speedup since the terms in the Hamiltonian can be truncated by a polynomial number of interactions while keeping the error bounded. We report expected accuracy levels comparable to classical numerical algorithms by using 10 qubits and 94 entangling gates on a fault-tolerant quantum computer, and an expected success probability of the post-selection procedure due to the embedding protocol above 60\\%.

연구 동기 및 목표

• 고전적 방법에 비해 지수적 속도 향상을 달성하는 금융 파생상품 가격 설정을 위한 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• 해밀토니안 시뮬레이션을 사용하여 양자 컴퓨터에서 비에르미트 블랙-숄즈 방정식을 해결하는 데 도전하기 위해.
• 보조 큐비트를 통해 초기 조건을 주기적 경계 조건으로 변환하여 안정성과 성능을 향상시키기 위해.
• 제한된 오차와 높은 성공 확률을 유지하면서 고장 내성 양자 하드웨어에서 실현 가능한 구현을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 블랙-숄즈 방정식은 슈뢰딩거 방정식으로 매핑된다.
• 비에르미트 해밀토니안은 하나의 보조 큐비트를 사용하여 더 큰 하이젠베르크 공간에 통합되어 유니타리성을 유지한다.
• 두 번째 보조 큐비트는 초기 조건을 주기적 경계 조건으로 변환하여 수치적 안정성을 향상시킨다.
• 알고리즘은 다항식적으로 유한한 상호작용 수를 가진 해밀토니안 시뮬레이션을 사용하여 오차 제어를 보장한다.
• 양자 프로토콜은 후선택을 통해 올바른 계산 하위공간으로 투영하여 60% 이상의 성공 확률을 달성한다.
• 이 방법은 고장 내성 양자 컴퓨터를 대상으로 설계되었으며, 실용적 정확도를 확보하기 위해 단지 10 큐비트와 94개의 엔터빙 게이트가 필요하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비에르미트 성격을 지닌 블랙-숄즈 방정식이 해밀토니안 시뮬레이션을 통해 양자 컴퓨터에서 효율적으로 해결될 수 있는가?
• RQ2 블랙-숄즈 PDE의 비유니타리 동역학이 최소한의 오버헤드로 유니타리 양자 진화에 어떻게 통합될 수 있는가?
• RQ3 초기 조건을 주기적 경계 조건으로 변환하는 것이 양자 알고리즘의 안정성과 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 금융 파생상품 가격 설정에서 고전적 수준의 정확도를 확보하기 위해 필요한 자원 요구사항(큐비트, 게이트, 성공 확률)은 무엇인가?
• RQ5 고장 내성 환경에서 제한된 오차와 높은 성공 확률을 유지하면서도 지수적 속도 향상을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 해밀토니안 상호작용을 다항식 수의 항으로 잘라내면서도 오차를 제한함으로써 지수적 속도 향상을 달성한다.
• 10 큐비트와 94개의 엔터빙 게이트로 고전적 수치 방법과 비교해 유사한 정확도 수준을 달성한다.
• 주기적 경계 조건을 강제하기 위해 두 번째 보조 큐비트를 사용함으로써 양자 시뮬레이션의 안정성과 성능이 크게 향상된다.
• 임베딩 프로토콜 기반의 후선택 절차는 60%를 초과하는 성공 확률을 얻는다.
• 이 방법은 해밀토니안 시뮬레이션을 사용하여 디지털 양자 컴퓨터에서 금융 파생상품을 가격 설정하는 실현 가능하고 확장 가능한 접근법을 제공하며, 몬테카를로 기반의 양자 접근과 다릅니다.