[논문 리뷰] Probability-free stochastic integration of continuous functions

Vladimir Vovk|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 연속적인 피연산자 ϕ와 연속적인 가격 경로 ω에 대해 확률 측도를 생략한 경로 기반(stochastic integral) ∫₀ᵗϕ dω의 구성 방법을 제시한다. 표본 경로의 연속성과 결정론적 적분 기법을 활용하여 확률 공간을 요구하지 않고도 잘 정의된 적분을 수립함으로써, 연속적인 설정에서 측도 이론 없이 직접적인 접근을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This note gives a simple construction of the pathwise stochastic integral $\int_0^t\phi d\omega$ for a continuous integrand $\phi$ and continuous price path $\omega$.

연구 동기 및 목표

• 확률 측도 또는 기초 확률 공간에 의존하지 않는 확률적 적분 공식을 개발하는 것.
• 연속적인 경로와 피연산자를 사용하여 경로 기반 결정론적 방법만으로 확률적 적분의 범위를 확장하는 것.
• 연속 과정에 대해 고전적 이토 적분의 엄밀하고 측도 이론 없는 대안을 제공하는 것.
• 연속적인 ϕ와 ω에 대해 적분 ∫₀ᵗϕ dω가 각 경로별로 일致하게 정의될 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 연속적인 표본 경로와 컴acts 구간에서의 균등 수렴을 이용하여 확률적 적분을 구성하는 것.
• 연속적인 경로에 적합하게 조정된 결정론적 부분 적분 공식을 적용하는 것.
• 적분자 ω가 컴팩트 구간에서 유계 변동성을 갖는다는 점을 이용하여 적분 가능성을 보장하는 것.
• 연속적인 경로를 따라 리만-스티엘티jes 합의 점별 극한으로서 적분을 정의하는 것.
• 균등 수렴과 연속성 가정을 통해 유일성과 일致성을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률 측도를 도입하지 않고도 확률적 적분을 정의할 수 있는가?
• RQ2 연속적인 함수에 대해 결정론적 방법만으로 경로 기반 확률적 적분을 구성할 수 있는가?
• RQ3 연속적인 경로에 대해 고전적 이토 적분을 측도 이론 없는 프레임워크에서 어떻게 회복할 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건이 그러한 경로 기반 적분의 존재성과 유일성을 보장하는가?

주요 결과

• 연속적인 피연산자 ϕ와 연속적인 경로 ω에 대해 경로 기반 확률적 적분 ∫₀ᵗϕ dω가 존재하고 잘 정의되어 있다.
• 이 구성은 확률 공간이나 측도 이론적 기초를 필요로 하지 않는다.
• ω가 확률 측도 하에서 연속적인 세미마링게일일 경우, 고전적 이토 적분과 일致한다.
• 균등 연속성과 컴팩트 구간에서의 유계 변동성에 의존하여 결정론적 수렴을 보장하는 방법이다.