[논문 리뷰] Problem of Time and Background Independence: classical version's higher Lie Theory

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 54인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고전적 배경 독립성과 문제의 시간 해결을 더 높은 리 이론을 도입하여 확장하며, 디라크의 제약 닫힘 알고리즘을 보다 광범위한 '리의 알고리즘' 프레임워크로 일반화한다. 리 강성과 중간 객체 재할당(RIO) 불변성은 글로벌 선택 원리로 식별되며, 이는 시공간 구성과 리 대수 및 대수다발을 통한 기하학적 구조 통합에서의 역할을 입증한다.

ABSTRACT

A local resolution of the Problem of Time has recently been given, alongside reformulation as a local theory of Background Independence. The classical part of this requires just Lie's Mathematics, much of which is basic: i) Lie derivatives to encode Relationalism. ii) Lie brackets for Closure giving Lie algebraic structures. iii) Observables defined by a Lie brackets relation, in the constrained canonical case as explicit PDEs to be solved using Lie's flow method, and themselves forming Lie algebras. iv) Lattices of constraint algebraic substructures induce dual lattices of observables subalgebras. The current Article focuses on two pieces of `higher Lie Theory' that are also required. Preliminarily, we extend Dirac's Algorithm for Constraint Closure to `Lie's Algorithm' for Generator Closure. 1) We then reinterpret `passing families of theories through the Dirac Algorithm' - a method used for Spacetime Construction (from space) and getting more structure from less structure assumed more generally - as the Dirac Rigidity subcase of Lie Rigidity. We also provide a Foundations of Geometry example of specifically Lie rather than Dirac Rigidity, to illustrate merit in extending from Dirac to Lie Algorithms. We point to such rigidity providing a partial cohomological (and thus global) selection principle for the Comparative Theory of Background Independence. 2) We finally pose the universal (theory-independent) analogue of GR's Refoliation Invariance for the general Lie Theory: Reallocation of Intermediary-Object Invariance. This is a commuting pentagon criterion: in evolving from an initial object to a final object, does switching which intermediary object one proceeds via amount to at most a difference by an automorphism of the final object? We argue for this to also be a selection principle in the Comparative Theory of Background Independence.

연구 동기 및 목표

• 기본 리 미적분을 초월하는 고급 리 이론적 구조를 통합하여 고전적 문제의 시간 해결을 확장한다.
• 제약 닫힘을 위한 디라크 알고리즘을 일반화하여 제약 닫힘에 대한 일반화된 '리의 알고리즘'을 수립한다.
• 비교적 배경 독립 이론의 이론적 틀 내에서 리 강성과 중간 객체 재할당(RIO) 불변성을 잠재적 글로벌 선택 원리로 식별한다.
• 등각 및 사영 기하학적 구조를 포함하는 기하학 기초 예제를 통해 고급 리 이론의 물리적 및 기하학적 의미를 입증한다.
• 리 이론적 강성과 자동형 불변성을 활용하여 덜 구조화된 초깃값으로부터 시공간 구성과 구조의 기원을 통합한다.

제안 방법

• 디라크의 제약 닫힘 알고리즘을 일반 리 괄호에 대한 닫힘을 다룰 수 있도록 '리의 알고리즘'으로 일반화한다.
• '이론의 가족을 디라크 알고리즘을 통과시키는 것'을 일반 리 강성 프레임워크 내에서 특수한 하위 케이스인 디라크 강성으로 재해석한다.
• 일반적인 이론 독립적 대체 원리로서 일반 상대성 이론의 재엽면 불변성의 일반화로 작용하는 중간 객체 재할당(RIO) 불변성을 도입하며, 이를 가환 오각형 조건으로 기술한다.
• 제약 시스템에서 관측가를 정의하는 리 괄호 관계로부터 유도되는 일阶 편미분방정식계를 해결하기 위해 리의 흐름 방법을 적용한다.
• 제약 대수적 하위구조와 관측가 대수하위대수 간의 격자 dual을 활용하여 배경 독립 이론의 대수적 구조를 분석한다.
• 평탄한 공간 내 2파rameter 벡터장 가중치를 사용하여 생성자 닫힘 모델링을 수행하며, 조건 $\mu(2\mu + \nu) = 0$ 를 통해 자기닫힘 구조의 분류를 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디라크의 제약 닫힘 알고리즘은 어떻게 일반 리 괄호에 대해 포괄되는가? 특히 파울리 괄호를 초월하여 일반 리 괄호의 구조를 수용할 수 있는가?
• RQ2 비교적 배경 독립 이론 이론 틀 내에서 리 강성이 일관된 물리 이론을 선택하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 중간 객체 재할당(RIO) 불변성 기준은 일반 상대성 이론의 재엽면 불변성을 어떻게 일반화하여 이론 독립적인 원칙으로 확장하는가?
• RQ4 리 이론적 프레임워크는 일관된 배경 독립 모델을 선택하는 데 있어 코homological 선택 메커니즘을 어떻게 제공하는가?
• RQ5 등각 기하학과 사영 기하학의 기하학적 구조는 기초 기하학적 설정에서 리 대수적 닫힘 조건으로 어떻게 기원하는가?

주요 결과

• 조건 $\mu(2\mu + \nu) = 0$ 는 2파arameter 생성자 가중치 $\underline{Q}^{\text{tria}}_{\mu,\nu}$ 의 자기닫힘을 완전히 특징짓며, 두 개의 서로 다른 해를 제공한다: 특수 사영 생성자와 특수 등각 생성자.
• 단일 리 괄호 닫힘 조건으로부터 사영 및 등각 생성자를 동시에 회복함으로써, 디라크의 파울리 강성을 초월하는 리 강성이 기하학 이론에서 물리적 선택 원리로 작용한다는 것이 입증된다.
• 리 강성의 하위 케이스인 디라크 강성이 시공간 구성 분야에서 알려진 결과들을 뒷받침함으로써, 더 넓은 프레임워크가 기존 물리학과 일관됨을 입증한다.
• 중간 객체 재할당(RIO) 불변성 기준은 다양한 중간 구조 경로를 통해 도달하는 최종 결과가 자동형에 의해 동치가 되도록 보장하는 일반적인 대수적 오각형 조건으로 제안된다.
• 다양한 차단 항, 예를 들어 $c = \infty$, $c = c_{\text{uni}}$, $c = 0$ 등의 항들이 리 알고리즘에서 자연스럽게 유도되며, 이들의 소멸은 강력한 대수적 제약 조건에 의해 보장된다.
• 논문은 리 이론적 강성이 배경 독립 이론에서 물리적 일관성과 대수적 위상적 구조를 연결하는 부분적인 코homological 선택 원리임을 입증한다.