[논문 리뷰] Quadrupole Insulator without Corner States in the Energy Spectrum

Yu-Liang Tao, Jiong-Hao Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 02.

Topological Materials and Phenomena인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비틀림 모멘트가 비영이지만 에너지 스펙트럼에서 0 에너지 모드를 갖지 않는 새로운 이중차원 쿼드루폴 인스룰레이터 상을 제시한다. 이는 위상적 보호에도 불구하고 발생한다. 핵심 발견은 표면-모서리 대응관계의 붕괴이다. 모서리 모드는 에너지 스펙트럼에서는 사라지지만, 해밀토니안을 평탄화함에 따라 표면 갭이 붕괴되면서 엔트레인지먼트 스펙트럼에서 강력하게 나타나며, 이는 고차원 위상적 상에서 위상적 불변량이 주로 엔트레인지먼트 스펙트럼에 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

The quadrupole insulator is a well-known instance of higher-order topological insulators in two dimensions, which possesses midgap corner states in both the energy spectrum and entanglement spectrum. Here, by constructing and exploring a model Hamiltonian under a staggered $\mathbb{Z}_2$ gauge field that respects momentum-glide reflection symmetries, we surprisingly find a quadrupole insulator that lacks zero-energy corner modes in its energy spectrum, despite possessing a nonzero quadrupole moment. Remarkably, the existence of midgap corner modes is found in the entanglement spectrum. Since these midgap states cannot be continuously eliminated, the quadrupole insulator cannot be continuously transformed into a trivial topological insulator, thereby confirming its topological nature. We show that the breakdown of the correspondence between the energy spectrum and entanglement spectrum occurs due to the closure of the edge energy gap when the Hamiltonian is flattened. Finally, we present a model that demonstrates an insulator with corner modes in the energy spectrum even in the absence of the quadrupole moment. In this phase, the entanglement spectrum does not display any midgap states. The results suggest that the bulk-edge correspondence of quadrupole insulators generally manifests in the entanglement spectrum rather than the energy spectrum.

연구 동기 및 목표

• 대칭 보호 조건 하에서 고차원 위상적 인스룰레이터의 모서리 상태의 강건성에 대한 연구.
• 비영이 위상 불변량을 갖는 쿼드루폴 인스룰레이터에서 에너지 스펙트럼과 엔트레인지먼트 스펙트럼 간의 관계 탐색.
• 에너지 스펙트럼과 엔트레인지먼트 스펙트럼 간의 전통적 대응관계가 붕괴되는 조건 규명.
• 에너지 스펙트럼에 중간 상태가 없더라도 쿼드루폴 모멘트가 유지될 수 있음을 보여주며, 전통적인 모서리 상태 발생 기대에 도전.
• 해밀토니안 평탄화 과정에서 표면 갭 붕괴가 다양한 스펙트럼에서 위상적 모드의 발생에 미치는 영향을 규명하는 데 기여.

제안 방법

• 운동량-글라이드 반사 대칭을 유지하는 스터지드 Z₂ 게이지 장을 갖는 2D 타이트버딩 모델 구축.
• 서브격자 및 궤도 자유도를 기술하기 위해 파울리 행렬 τ와 σ를 사용한 운동량 공간의 블로흐 해밀토니안 사용.
• 위상적 상을 식별하기 위해 윌슨 루프 형식을 통해 쿼드루폴 모멘트 qxy 계산.
• 열린 경계 조건 하에서 에너지 스펙트럼 분석을 통해 0 에너지 모서리 모드 탐지.
• 1/4 시스템 분할에서 유도된 단일 입자 상관 행렬 CA로부터 감소 밀도 행렬 ρA를 통해 엔트레인지먼트 스펙트럼 계산.
• 점유 상태에 대한 프로젝터 P_occ를 사용한 평탄화된 해밀토니안 H_flat = ½ - P_occ의 에너지 스펙트럼과 엔트레인지먼트 스펙트럼 간의 일대일 대응 수립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비영 쿼드루폴 모멘트를 갖는 쿼드루폴 인스룰레이터가 존재할 수 있는가, 그러나 에너지 스펙트럼에 0 에너지 모서리 모드가 없는가?
• RQ2 에너지 스펙트럼에 존재하지 않을 때도 왜 중간 상태가 엔트레인지먼트 스펙트럼에 나타나는가?
• RQ3 해밀토니안 평탄화 과정에서 표면 갭 붕괴가 에너지 스펙트럼과 엔트레인지먼트 스펙트럼 간의 대응관계 붕괴에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 에너지 스펙트럼에 나타나지 않을 때 엔트레인지먼트 스펙트럼은 어떻게 위상 불변량을 반영하는가?
• RQ5 에너지 스펙트럼에 모서리 모드가 없지만 엔트레인지먼트 스펙트럼에 모서리 모드가 존재하는 위상적 상이 존재할 수 있으며, 이는 표면-모서리 대응관계에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 비영 쿼드루폴 모멘트 qxy = 0.5를 갖는 쿼드루폴 인스룰레이터 상이 확인되어, 에너지 스펙트럼에서 0 에너지 모서리 모드가 없음에도 불구하고 위상적 성질을 갖는 것을 확인한다.
• 중간 상태가 엔트레인지먼트 스펙트럼에서 강력하게 나타나며, 이는 위상 불변량이 에너지 스펙트럼이 아닌 엔트레인지먼트 구조에 저장되어 있음을 시사한다.
• 대응관계 붕괴의 원인은 해밀토니안 평탄화 과정에서 표면 에너지 갭의 붕괴로, 이는 모서리 모드가 에너지 스펙트럼에서는 사라지지만 부피 쿼드루폴 모멘트는 그대로 유지됨을 허용한다.
• 엔트레인지먼트 스펙트럼이 평탄화된 해밀토니안의 에너지 스펙트럼을 직접 반영함을 보여주며, H_flat^T = ½ - C_A 관계를 통해 일대일 대응 수립.
• 쿼드루폴 모멘트가 0인 보완 모델에서는 에너지 스펙트럼에 모서리 모드가 나타나지만 엔트레인지먼트 스펙트럼에는 없으며, 이는 스펙트럼 서명 간 비대칭성을 확인한다.
• 결과적으로 고차원 위상적 인스룰레이터에서 엔트레인지먼트 스펙트럼은 에너지 스펙트럼보다 위상적 질서를 더 신뢰할 만한 지표임을 보여주며, 특히 표면 갭이 붕괴될 경우 더욱 그렇다.