[논문 리뷰] Quantum ground state isoperimetric inequalities for the energy spectrum of local Hamiltonians

Elizabeth Crosson, John R. Bowen|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 29.

Quantum many-body systems참고 문헌 36인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 국소 해밀토니안의 스펙트럼 간격을 지면 상태 확률 분포의 기하학적 구조를 사용하여 상한으로 제시하는 양자 등면적 부등식을 수립한다. 다중 모달 지면 상태에서 국소화된 확률 클러스터가 존재할 경우 반드시 작은 스펙트럼 간격을 초래하며, 이는 비스토퀴어스 항이 포함된 경우조차도 애디아바틱 양자 계산의 효율성을 제한한다.

ABSTRACT

We investigate the relationship between the energy spectrum of a local Hamiltonian and the geometric properties of its ground state. By generalizing a standard framework from the analysis of Markov chains to arbitrary (non-stoquastic) Hamiltonians we are naturally led to see that the spectral gap can always be upper bounded by an isoperimetric ratio that depends only on the ground state probability distribution and the range of the terms in the Hamiltonian, but not on any other details of the interaction couplings. This means that for a given probability distribution the inequality constrains the spectral gap of any local Hamiltonian with this distribution as its ground state probability distribution in some basis (Eldar and Harrow derived a similar result in order to characterize the output of low-depth quantum circuits). Going further, we relate the Hilbert space localization properties of the ground state to higher energy eigenvalues by showing that the presence of k strongly localized ground state modes (i.e. clusters of probability, or subsets with small expansion) in Hilbert space implies the presence of k energy eigenvalues that are close to the ground state energy. Our results suggest that quantum adiabatic optimization using local Hamiltonians will inevitably encounter small spectral gaps when attempting to prepare ground states corresponding to multi-modal probability distributions with strongly localized modes, and this problem cannot necessarily be alleviated with the inclusion of non-stoquastic couplings.

연구 동기 및 목표

• 지면 상태의 확률 분포 기하학적 구조와 그에 대응하는 국소 해밀토니안의 스펙트럼 간격 사이의 엄밀한 연결 고리를 확립하는 것.
• 비스토퀴어스 상호작용이 애디아바틱 양자 최적화에서 작은 스펙트럼 간격을 초래하는 기하학적 봉쇄를 극복할 수 있는지 조사하는 것.
• 마르코프 체인과 그래프 이론에서의 등면적 원리를 임의의(비스토퀴어스가 아닌) 양자 해밀토니안으로 일반화하는 것.
• 지면 상태 모드가 k개 국소화되어 있을 경우, 지면 상태 에너지 근처에 k개의 낮은 에너지 고유값이 존재함을 보여주는 것.
• 지면 상태 분포의 기하학적 봉쇄로 인해 이상화된 애디아바틱 양자 계산 모델에 근본적인 제약이 존재함을 규명하는 것.

제안 방법

• 지면 상태 확률 분포를 사용하여 기저 상태 위에 가중치가 부여된 그래프를 정의함으로써, 마르코프 체인에서의 등면적 프레임워크를 임의의 국소 해밀토니안으로 일반화하는 것.
• 집합 S ⊆ 기저에 대해, S 외부의 상태들과 비영인 비대각 해밀토니안 행렬 원소로 연결된 상태들의 집합을 S의 내부 경계 ∂S로 정의하는 것.
• 지면 상태 확률 질량 π(S)를 고려하여 등면적 비율 π(∂S)/π(S)를 사용해 스펙트럼 간격 ∆H의 상한을 유도하는 것.
• 정리 1 증명: π(S) ≤ 1/2 인 집합 S에 대해 ∆H ≤ 2(∥H∥−E)π(∂S)/π(S) 임을 보이며, 이는 스펙트럼 간격이 지면 상태 기하학과 해밀토니안 범위에만 의존함을 시사함.
• 다른 Sᵢ들 간에 비대각 해밀토니안 원소가 연결되지 않는 고립된 집합 S₀,…,Sₖ의 개념을 사용해 고립된 상태에 대한 분석을 확장하는 것.
• 정리 2를 활용해 k개의 고립된, 낮은 확장도를 가진 집합 Sᵢ들이 존재할 경우, 해밀토니안이 지면 상태 에너지 근처에 k개의 고유값을 가짐을 보여, 작은 스펙트럼 간격을 의미함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 해밀토니안의 스펙트럼 간격을 지면 상태의 확률 분포 기하학적 구조만을 사용해 상한으로 제시할 수 있는가?
• RQ2 지면 상태의 기하학적 봉쇄, 예를 들어 국소화된 클러스터를 가진 다중 모달 분포 등이 애디아바틱 양자 계산의 효율성에 얼마나 큰 제약을 가하는가?
• RQ3 복소수 위상이 있는 비스토퀴어스 해밀토니안은 이러한 기하학적 봉쇄로 인한 스펙트럼 간격 문제를 피할 수 있는가?
• RQ4 비스토퀴어스 상호작용이 존재하더라도 여전히 효율적인 애디아바틱 상태 준비에 기하학적 장애가 존재하는가?
• RQ5 경로 변경 또는 수정된 해밀토니안은 지면 상태의 국소화 및 확장 성질에 어떻게 영향을 주며, 결과적으로 스펙트럼 간격에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 국소 해밀토니안의 스펙트럼 간격 ∆H는 해밀토니안의 범위와 지면 상태 확률 분포를 포함한 등면적 비율에 의해 상한으로 제시되며, 상호작용 세부 사항과는 무관하다.
• 기저 상태의 부분집합 S에 대해 π(S) ≤ 1/2 이면, ∆H ≤ 2(∥H∥−E)π(∂S)/π(S) 이며, 여기서 ∂S 는 S의 내부 경계이다.
• 서로 고립된 k개의 부분집합 S₀,…,Sₖ가 존재하고 각각의 확장도 π(∂Sᵢ)/π(Sᵢ) 가 작을 경우, 해밀토니안은 지면 상태 에너지 근처에 k개의 고유값을 가짐을 의미한다.
• 강하게 국소화된 확률 클러스터를 가진 다중 모달 지면 상태 분포는 해밀토니안의 스토쿠어스 여부에 관계없이 반드시 작은 스펙트럼 간격을 초래한다.
• 비스토퀴어스 상호작용이 존재하더라도 지면 상태의 기하학적 봉쇄로 인한 작은 스펙트럼 간격을 반드시 제거하지는 않으며, 이는 애디아바틱 모델의 근본적 한계를 시사한다.
• 경로 변경이 있는 토이 모델에서는 시스템 크기가 증가함에 따라 스펙트럼 간격이 0에서 멀리 떨어져 있음을 보였고, 반면 경로 변경이 없는 경우 지면 상태 분포의 봉쇄로 인해 간격이 지수적으로 작아진다.