[논문 리뷰] Quantum phase transition between symmetry enriched topological phases in tensor-network states

Lukas Haller, Wen-Tao Xu외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 03.

Quantum many-body systems참고 문헌 74인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간역전대칭성을 가진 2차원 장식된 토릭 코드에서 대칭으로 풍부한 위상적(SET) 상들 사이의 연속적인 양자상전이를 실현하는 텐서망 해석가능 모델을 제안한다. 결합 차원 D=3인 텐서망을 사용하여, 위상적 얽힘 엔트로피와 막(order parameter)을 통해 구분되는 세 가지 상—SET 토릭 코드, 비틀림 없는 토릭 코드, 위상적으로 비틀림 없는 상—을 규명하였으며, 상 경계에서 $O(2)$ 루프 가스 점이 $c=1$ conformal field theory에 의해 지배되는 임계점임을 밝혔다.

ABSTRACT

Quantum phase transitions between different topologically ordered phases exhibit rich structures and are generically challenging to study in microscopic lattice models. In this work, we propose a tensor-network solvable model that allows us to tune between different symmetry enriched topological (SET) phases. Concretely, we consider a decorated two-dimensional toric code model for which the ground state can be expressed as a two-dimensional tensor-network state with bond dimension $D=3$ and two tunable parameters. We find that the time-reversal (TR) symmetric system exhibits three distinct phases (i) an SET toric code phase in which anyons transform non-trivially under TR, (ii) a toric code phase in which TR does not fractionalize, and (iii) a topologically trivial phase that is adiabatically connected to a product state. We characterize the different phases using the topological entanglement entropy and a membrane order parameter that distinguishes the two SET phases. Along the phase boundary between the SET toric code phase and the toric code phase, the model has an enhanced $U(1)$ symmetry and the ground state is a quantum critical loop gas wavefunction whose squared norm is equivalent to the partition function of the classical $O(2)$ model. By duality transformations, this tensor-network solvable model can also be used to describe transitions between SET double-semion phases and between $\mathbb{Z}_2 imes\mathbb{Z}_2^T$ symmetry protected topological phases in two dimensions.

연구 동기 및 목표

• 시간역전대칭성을 가진 서로 다른 대칭으로 풍부한 위상적(SET) 상들 사이의 연속적인 양자상전이를 실현하는 해석가능한 미시적 모델을 구축하기.
• 다양한 SET 상들에서 anyon에 대한 시간역전대칭의 분할이 어떻게 이루어지는지 규명하기.
• 강화된 $U(1)$ 대칭과 $c=1$ conformal field theory 행동을 보이는 임계점을 식별하고 분석하기.
• 텐서망이 2차원 양자 시스템에서 위상적 순서, 대칭 분할, 상전이를 포괄하는 데 유용한가를 보여주기.

제안 방법

• 지상 상태는 두 개의 조절 가능한 매개변수로 매개변수화된 2차원 텐서망 상태(TNS)로 구성되며, 결합 차원 $D=3$이다.
• 모델은 토릭 코드의 고리를 1차원 대칭 보호 위상(SPT) 체인으로 장식하여, anyon에 대한 대칭 분할을 가능하게 한다.
• 위상적 얽힘 엔트로피(TEE)와 막(order parameter)을 수치적으로 계산하여 상들을 구분한다.
• 임계점은 이중성(duality)을 통해 분석되며, 파동함수 계수를 고전적 $O(2)$ 루프 모델의 분할함수로 매핑한다.
• 임계 행동이 중심 전하 $c=1$인 콤팩트화된 자유 보존 CFT로 기술됨을 확인하였다.
• TNS 형식은 고정점 전이 연산자를 사용하여 $N \to \infty$ 극한에서 두 번째 Renyi 엔트로피와 TEE를 정확히 계산할 수 있게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간역전대칭성을 가진 서로 다른 SET 상들 사이의 연속적인 양자상전이를 실현할 수 있는 해석가능한 텐서망 모델이 존재하는가?
• RQ2 SET 토릭 코드 상에서 시간역전대칭은 비틀림 없는 토릭 코드 상과 비교해 어떤 방식으로 anyon에 분할되는가?
• RQ3 두 개의 SET 상을 분리하는 임계점의 성격은 무엇이며, 강화된 대칭을 보이는가?
• RQ4 임계 행동은 알려진 고전적 통계모형으로 매핑될 수 있으며, 그 conformal field theory 기술은 무엇인가?
• RQ5 위상적 얽힘 엔트로피와 막(order parameter)은 이 모델에서 서로 다른 상들을 어떻게 식별하는가?

주요 결과

• 모델은 세 가지 상을 실현한다: 비틀림 없는 시간역전대칭 분할을 가진 SET 토릭 코드 상, 분할이 없는 비틀림 없는 토릭 코드 상, 그리고 산업 상태와 단절적으로 연결된 위상적으로 비틀림 없는 상.
• SET 토릭 코드 상과 비틀림 없는 토릭 코드 상 사이의 상전이는 연속적이며, 임계점에서 강화된 $U(1)$ 대칭을 보인다.
• 임계 파동함수는 양자 루프 가스이며, 그 제곱 노름은 고전적 $O(2)$ 루프 모델의 분할함수로 매핑되며, $c=1$ conformal field theory에 의해 지배된다.
• 막(order parameter)은 두 개의 SET 상을 성공적으로 구분하여, 서로 다른 대칭 분할 패tern을 확인한다.
• 위상적 얽힘 엔트로피(TEE)는 SET 토릭 코드 상에서 $\gamma = \log 2$로 양자화되고, 비틀림 없는 상에서는 0이 되며, 위상적 순서와 일치한다.
• SET-TC 상에서의 얽힘 스펙트럼은 Kramers 정리에 따라 $\mathbf{e}$ 및 $\mathbf{f}$ anyon 섹터에서 짝수중복도를 보이며, 시간역전대칭 분할을 확인한다.