[논문 리뷰] Quantum q-Langlands Correspondence

Mina Aganagic, Edward Frenkel외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 11.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 26인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 6차원 리틀 스트링 이론의 등각 극한에서 유도되는 구조를 통해, ${\mathcal{W}}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 대수의 $q$-데포메이션된 등각 블록을 양자 아핀 대수 $\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}}$의 것과 동일시하여, 단순 루트 시스템을 가진 모든 리 대수에 대해 $q$-데포메이션된 기하학적 랭랜즈 대응을 제안한다. 이는 나카지마 퀴버 다양체의 양자 K-이론을 통해 증명되며, 물리적 실현으로서 양자 랭랜즈 dualities를 제공한다.

ABSTRACT

We formulate a two-parameter generalization of the geometric Langlands correspondence, which we prove for all simply-laced Lie algebras. It identifies the q-conformal blocks of the quantum affine algebra and the deformed W-algebra associated to two Langlands dual Lie algebras. Our proof relies on recent results in quantum K-theory of the Nakajima quiver varieties. The physical origin of the correspondence is the 6d little string theory. The quantum Langlands correspondence emerges in the limit in which the 6d string theory becomes the 6d conformal field theory with (2,0) supersymmetry.

연구 동기 및 목표

• 단순 루트 시스템을 가진 $\mathfrak{g}$에 대해 ${\mathcal{W}}_{q,t}(\mathfrak{g})$의 $q$-데포메이션된 등각 블록과 양자 아핀 대수 $\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}}$ 사이의 $q$-데포메이션된 양자 랭랜즈 대응을 수립하는 것.
• 이 동형사상이 6차원 리틀 스트링 이론의 등각 극한에서 유도됨을 보여주어 물리적 구조와 수학적 구조를 연결하는 것.
• 나카지마 퀴버 다양체의 양자 K-이론을 통한 대응의 기하학적 실현을 제공하는 것.
• 정점 함수와 국소화를 이용하여 고전적 기하학적 랭랜즈 대응을 양자 및 $q$-데포메이션된 형태로 일반화하는 것.

제안 방법

• ${\mathcal{W}}_{q,t}(\mathfrak{g})$와 $\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}}$의 $q$-데포메이션된 등각 블록을 나카지마 퀴버 다양체의 양자 K-이론 내 정점 함수로 표현하는 것.
• 퀴버 다양체 모듈리 공간에서 고정점 기여도를 계산하기 위해 국소화 기법을 사용하는 것.
• GIT 몫의 K-이론에서 에퀴바리언트 적분과 잔여치를 이용해 정점 함수에 대한 적분 공식을 유도하는 것.
• 감소 공식과 차분 방정식을 적용하여 $q$-KZ 방정식과 등각 블록을 연결하는 것.
• 명시적인 $q$-데포메이션된 정점 함수와 안정 스위치를 통한 등각 블록의 동일시를 통해 동형사상 수립하는 것.
• 3차원 퀴버 게이지 이론의 S-duality와 결함 분할 함수를 통해 물리적 구조와 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $q$-데포메이션된 양자 랭랜즈 대응을 통해 $q$-데포메이션된 ${\mathcal{W}}_{q,t}$-대수와 양자 아핀 대수를 연결할 수 있는가?
• RQ2 퀴버 다양체와 그들의 양자 K-이론을 통해 $q$-데포메이션된 대응의 기하학적 기원은 무엇인가?
• RQ3 6차원 리틀 스트링 이론은 S-duality와 결함 연산자를 통해 어떻게 $q$-데포메이션된 양자 랭랜즈 대칭을 실현하는가?
• RQ4 ${\mathcal{W}}_{q,t}(\mathfrak{g})$와 $\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}}$의 등각 블록을 적분 표현을 통해 명시적으로 동일시할 수 있는가?
• RQ5 $A_1$ 경우에서 타원형 안정 스위치는 $q$-KZ 방정식의 $z$-해와 $a$-해를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• ${\mathcal{W}}_{q,t}(\mathfrak{g})$의 $q$-데포메이션된 등각 블록과 $\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}}$ 사이의 동형사상이 모든 단순 루트 시스템을 가진 리 대수 $\mathfrak{g}$에 대해 증명되었으며, 이는 $q$-데포메이션된 양자 랭랜즈 대응을 수립한다.
• 이 동형사상은 나카지마 퀴버 다양체의 양자 K-이론을 통해 실현되며, 등각 블록은 원환면 고정점 위의 적분으로 표현된다.
• $\mathfrak{g} = A_1$의 경우, $q$-KZ 방정식과 그 $z$-해는 $X = T^*\mathbb{P}^{n-1}$ 위에서 기하학적으로 실현되며, 안정 스위치로부터 명시적인 적분 공식이 도출된다.
• $A_1$ 경우의 $q$-바라소라 등각 블록은 타원형 안정 스위치를 통해 $q$-데포메이션된 ${\mathcal{W}}$-대수의 정점 함수와 일치함을 보였다.
• 6차원 리틀 스트링 이론의 등각 극한은 6차원 (2,0) 초등각 양자장 이론을 유도하며, 여기서 양자 랭랜즈 대칭은 카테고리적 동치로 나타난다.
• 이 구성은 $q$-데포메이션된 설정에서 게이츠고리–루리의 추측을 물리적으로 실현하며, 3차원 퀴버 게이지 이론과 양자 기하학적 랭랜즈 프로그램을 연결한다.