[논문 리뷰] Quenched large deviations for random walk in a random environment

Atilla Yilmaz|ArXiv.org|2008. 04. 01.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한한 점프를 갖는 랜덤 환경에서의 랜덤 워크에 대해 $\mathbb{Z}^d$ 위에서 입자 관점과 비용 함수의 변분 공식을 이용하여 고정된 대칭성의 큰편차원리(LDP)를 수립한다. 일차원 경우에서 최소화자에 대한 앵색을 검증하며, 이는 이전의 최근접이웃 결과를 점프가 유한한 보행자로 일반화한다.

ABSTRACT

We take the point of view of a particle performing random walk with bounded jumps on $\mathbb{Z}^d$ in a stationary and ergodic random environment. We prove the quenched large deviation principle (LDP) for the pair empirical measure of the environment Markov chain. By an appropriate contraction, we deduce the quenched LDP for the mean velocity of the particle and obtain a variational formula for the corresponding rate function. We propose an Ansatz for the minimizer of this formula. When $d=1$, we verify this Ansatz and generalize the nearest-neighbor result of Comets, Gantert and Zeitouni to walks with bounded jumps.

연구 동기 및 목표

• 유한한 점프를 갖는 랜덤 환경에서의 랜덤 워크의 평균 속도에 대한 고정된 대칭성의 큰편차원리(LDP)를 수립하기 위해.
• 환경 마코프 체인의 쌍(empirical) 측도에서의 압축을 통해 고정된 비용 함수의 변분 공식을 유도하기 위해.
• 일차원 경우에서 변분 공식의 최소화자에 대한 앵색을 제안하고 검증하기 위해.
• Comets, Gantert, 그리고 Zeitouni의 최근접이웃 결과를 $d=1$에서 유한한 점프를 갖는 보행자로 일반화하기 위해.
• 입자 관점과 Doob $h$-변환 프레임워크를 이용하여 고정된 LDP를 분석하기 위해.

제안 방법

• 고정된 측도 $P_x^\omega$를 이용하여 환경 마코프 체인의 쌍(empirical) 측도에 대한 고정된 LDP를 수립하기 위해.
• 압축을 적용하여 평균 속도에 대한 고정된 LDP를 유도하고, 이로부터 비용 함수의 변분 공식을 도출하기 위해.
• 환경 커널의 구조와 불변 측도에 기반하여 변분 공식의 최소화자에 대한 앵색을 제안하기 위해.
• 환경 마코프 체인을 주요 확률과정으로 다루기 위해 입자 관점에서 접근하기 위해.
• 고정된 측도 하에서 불변 측도와 전이핵을 분석하기 위해 Doob $h$-변환을 활용하기 위해.
• 모멘트 조건과 Garsia-Rodemich-Rumsey 정리를 사용하여, 스케일된 함수들의 등연속성을 확립함으로써 $d=1$에서 앵색을 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정적이고 에르고딕한 랜덤 환경에서 유한한 점프를 갖는 랜덤 워크의 평균 속도에 대한 고정된 대칭성의 큰편차 비용 함수는 무엇인가요?
• RQ2 환경 마코프 체인의 쌍(empirical) 측도에서의 압축을 통해 고정된 비용 함수의 변분 공식을 도출할 수 있나요?
• RQ3 제안된 변분 공식의 최소화자에 대한 앵색은 유한한 점프를 갖는 일차원 경우에 성립합니까?
• RQ4 고정된 LDP는 Comets, Gantert, 그리고 Zeitouni의 최근접이웃 결과를 어떻게 유한한 점프를 갖는 보행자로 일반화합니까?
• RQ5 고정된 설정에서 비용 함수의 하부 연속성 또는 연속성을 보장하는 조건는 무엇입니까?

주요 결과

• 정적이고 에르고딕한 랜덤 환경에서 유한한 점프를 갖는 랜덤 워크의 평균 속도에 대한 고정된 LDP가 수립되었다.
• 환경 마코프 체인의 쌍(empirical) 측도에 대한 고정된 LDP에서의 압축을 통해 고정된 비용 함수의 변분 공식이 도출되었다.
• 일차원 경우에서 변분 공식의 최소화자에 대한 앵색이 검증되었으며, 주어진 가정 하에서 그 타당성이 확인되었다.
• Comets, Gantert, 그리고 Zeitouni의 최근접이웃 고정된 LDP 결과가 $d=1$에서 유한한 점프를 갖는 보행자로 일반화되었다.
• 일반적인 조건 하에서 비용 함수는 유한하고 하부 연속적이지만, 반드시 연속적이지는 않다.
• 주기적인 환경의 경우, 상태공간의 유한성과 균일 타원성에 의해 비용 함수 $\mathfrak{I}$는 연속적이다.