[논문 리뷰] Regular and relational categories: Revisiting 'Cartesian bicategories I'

Brendan Fong, David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 캐르본과 월터스의 관계 이중범주 이론을 그림자료 기반의 와이어링 형식으로 재해석하며, 정규 범주에서의 관계 이중범주를 직접 공리화한 '관계적 po-범주'를 도입한다. 정규 범주와 관계적 po-범주 사이의 2-범주 동치를 확립하여, 관계적 po-범주에서의 왼쪽 수반 사상의 범주가 원래의 정규 범주를 복원함을 보이며, 스트링 다이어그램과 초그래프 범주 구조를 통해 증명을 단순화한다.

ABSTRACT

Regular logic is the fragment of first order logic generated by $=$, $ op$, $\wedge$, and $\exists$. A key feature of this logic is that it is the minimal fragment required to express composition of binary relations; another is that it is the internal logic of regular categories. The link between these two facts is that in any regular category, one may construct a notion of binary relation using jointly-monic spans; this results in what is known as the bicategory of relations of the regular category. In this paper we provide a direct axiomatization of bicategories of relations, which we term relational po-categories, reinterpreting the earlier work of Carboni and Walters along these lines. Our main contribution is an explicit proof that the 2-category of regular categories is equivalent to that of relational po-categories. Throughout, we emphasize the graphical nature of relational po-categories.

연구 동기 및 목표

• 정규 범주에서의 관계 이중범주를 이전의 앨레고리나 이중범주 프레임워크에 의존하지 않고 직접 공리화하는 것.
• 관계적 po-범주를 도입하여 정규 논리와 관계의 논리적 및 범주론적 본질을 포괄하는 최소한의 구조로 규정하는 것.
• 정규 범주와 관계적 po-범주 사이의 2-범주 동치를 확립하여, 왼쪽 수반 사상들을 통해 전체 데이터를 복원하는 것.
• 초그래프 범주에 기반한 그림자료 기반의 문법을 사용해 캐르본과 월터스의 고전적 결과를 재구성하는 것.
• 네트워크 유사한 다이어그램 형식을 통해 정규 논리의 논리적 및 범주론적 기초를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 관계적 po-범주를 단순화된 monoidal po-범주로 간주하며, 유한 집합의 코스팬 이중범주의 반대 범주에서의 와이어링(단순화된 모나드 함자)을 갖춘 구조로 공리화하여 논리 연산을 모델링한다.
• 스트링 다이어그램을 사용해 사상과 그의 합성을 표현하며, 대각선과 복제 사상은 '와이어'로 간주하여 그림자료적 추론을 가능하게 한다.
• 사전관계적 po-범주를 정의: 단순화된 모나드 구조가 느슨한 호모모르피즘을 만족하는 단순화된 모나드 po-범주로, 방정정식을 통해 논리적 성질를 표현할 수 있도록 한다.
• 탭류레이션을 핵심 구조로 도입: 사상이 오른쪽 수반 사상과 왼쪽 수반 사상의 합성으로 분해될 수 있고, 이때 공동 단사성 조건을 만족하면 이를 탭류레이션으로 간주한다.
• 초그래프 범주 구조를 활용해 증명을 단순화하며, 특히 호모지 세트에서의 모듈로 법칙과 만족-반순서 성질에 대해 유의미한 간소화를 이룬다.
• 그림자료 계산을 통해 스트링 다이어그램을 직접 활용해, 대체로 대수적 변환 없이 느슨한 코모노이드 호모모르피즘 성질로부터 모듈로 법칙을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 범주의 관계 이중범주는 앨레고리나 이중범주 프레임워크에 의존하지 않고 직접 공리화할 수 있는가?
• RQ2 등가, 논리적 합성, 존재 기술화를 포함한 정규 논리의 전체 논리적 내용을 포괄하는 최소한의 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 그림자료적 추론을 통해 정규 범주와 그 관계 이중범주 간의 동치를 더 투명하게 증명할 수 있는가?
• RQ4 캐르본과 월터스의 고전적 결과들은 와이어링 기반의 다이어그램 문법을 사용해 재유도할 수 있는가? 이는 복합성과 모odu라리티를 강조한다.
• RQ5 관계적 po-범주, 단위 탭류레이션 앨레고리, 정규 범주 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 정규 범주의 2-범주는 관계적 po-범주의 2-범주와 동치이며, 이는 정규 범주를 그 관계 이중범주로 보내는 함자와 반대로 그 왼쪽 수반 사상의 범주로 보내는 함자를 통해 확립된다.
• 모든 관계적 po-범주는 자신의 왼쪽 수반 사상의 범주에서 유도된 관계 이중범주로 나타나며, 이는 전체 데이터 복원을 증명한다.
• 관계 이중범주의 구성 과정은 어떤 데이터도 상실하지 않으며, 원래의 정규 범주는 왼쪽 수반 사상들을 통해 완전히 재구성된다.
• 사전관계적 po-범주에서의 모듈로 법칙은 사상의 느슨한 코모노이드 호모모르피즘 성질로부터 직접 유도되며, 깔끔한 그림자료 증명이 가능하다.
• 사전관계적 po-범주에서의 호모지 세트는 만족-반순서이면서, 두 사상의 병렬 와이어링을 통해 만족 연산이 정의된다.
• 관계적 po-범주는 정확히 단위 탭류레이션 앨레고리와 일치하며, 본 연구와 프리드의 앨레고리 프레임워크 사이의 직접적인 연결 고리를 확립한다.