[논문 리뷰] Schauder's estimate for nonlocal kinetic equations and its applications

Zimo Hao, Mingyan Wu외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 24.

Gas Dynamics and Kinetic Theory참고 문헌 48인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 허들 연속 계수를 가진 $\alpha$-스테이블 레비 노이즈에 의해 구동되는 열화된 비국소 운동학 방정식에 대해 샤우더 유형 추정을, 리틀우드-파일리 분해와 열핵 추정을 조합한 새로운 방법을 사용하여 수립한다. 주요 기여는 허들 연속성 조건 하에서 열화된 SDE의 강한 잘 정의성과 랜덤 운반 방정식의 $C^1_b$-해의 존재성을 입증하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we develop a new method based on Littlewood-Paley's decomposition and heat kernel estimates of integral form, to establish Schauder's estimate for the following degenerate nonlocal equation in $\mathbb R^{2d}$ with Hölder coefficients: $$ \partial_tu=\mathscr L^{(α)}_{κ;{ m v}} u+b\cdot abla u+f,\ u_0=0, $$ where $u=u(t,x,{ m v})$ and $\mathscr L^{(α)}_{κ;{ m v}}$ is a nonlocal $α$-stable-like operator with $α\in(1,2)$ and kernel function $κ$, which acts on the variable ${ m v}$. As an application, we show the strong well-posedness to the following degenerate stochastic differential equation with Hölder drift $b$: $$ { m d}Z_t=b(t,Z_t){ m d}t+(0,σ(t,Z_t){ m d}L^{(α)}_t),\ \ Z_0=(x,{ m v})\in\mathbb R^{2d}, $$ where $L^{(α)}_t$ is a $d$-dimensional rotationally invariant and symmetric $α$-stable process with $α\in(1,2)$, and $b:\mathbb R_+ imes\mathbb R^{2d} o\mathbb R^{2d}$ is a $(γ,β)$-Hölder continuous function in $(x,{ m v})$ with $γ\in\big(\frac{2+α}{2(1+α)},1\big)$ and $β\in\big(1-\fracα{2},1\big)$, $σ:\mathbb R_+ imes\mathbb R^{2d} o\mathbb R^d\otimes\mathbb R^d$ is a Lipschitz function. Moreover, we also show that for almost all $ω$, the following random transport equation has a unique $C^1_b$-solution: $$ \partial_tu(t,x,ω)+(b(t,x)+L^{(α)}_t(ω))\cdot abla_x u(t,x,ω)=0,\ \ u(0,x)=φ(x), $$ where $φ\in C^1_b(\mathbb R^d)$ and $b:\mathbb R_+ imes\mathbb R^d o\mathbb R^d$ is a bounded continuous function in $(t,x)$ and $γ$-order Hölder continuous in $x$ uniformly in $t$ with $γ\in\big(\frac{2+α}{2(1+α)},1\big)$.

연구 동기 및 목표

• 열화된 비국소 운동학 방정식에 대한 샤우더 추정을 위한 새로운 분석적 프레임워크를 개발한다. 이는 $\alpha \in (1,2)$ 인 $\alpha$-스테이블 레비 노이즈에 기반한다.
• 가감성 $\alpha$-스테이블 노이즈에 의해 구동되는 허들 연속성 드리프트를 가진 열화된 SDE의 잘 정의성 문제를 수립한다.
• 허들 연속성 조건 하에서 $\alpha$-스테이블 레비 노이즈에 의해 흐트러진 랜덤 운반 방정식에 대해 $C^1_b$-해의 존재성과 정규성 조건을 입증한다.

제안 방법

• 비국소 운동학 연산자를 분석하기 위해 리틀우드-파일리 분해와 적분형 열핵 추정을 기반으로 한 새로운 방법이 개발되었다.
• 비국소 연산자 $\mathscr{L}^{(\alpha)}_{\kappa;\mathrm{v}}$ 는 작은 점프($\widetilde{\mathscr{L}}^{(\alpha)}_{\kappa;\mathrm{v}}$)와 큰 점프($\overline{\mathscr{L}}^{(\alpha)}_{\kappa;\mathrm{v}}$)로 분해되어 별도로 다뤄진다.
• 작은 점프 성분을 고전적 PDE 기법에 적합한 형태로 변환하기 위해 가측 함수 $g(t,x,\mathrm{v},w)$ 를 통한 변수 변환 기법이 사용된다.
• 각 단계는 스트로크 플로우 표현과 $\mathscr{C}^m$-정규성 추정을 통해 해결되는 정규화된 PDE의 반복 수열에 피카르 반복이 적용된다.
• 그론발의 부등식과 파투의 보조정리가 사용되어 $C([0,T];\mathscr{C}^m)$ 에서 모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 반복 수열의 수렴성을 확보하며, 이는 부드러운 함수 클래스 내 해를 도출한다.
• 이 방법은 레비 노이즈의 정규화 효과를 활용하여 드리프트 계수의 낮은 정규성에 대비하여 허들 연속성 조건으로도 잘 정의성의 충족을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열화된 비국소 운동학 방정식에 대해 $\alpha \in (1,2)$ 이고 허들 연속 계수를 가진 $\alpha$-스테이블 레비 노이즈가 존재할 때 샤우더 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 $\alpha$-스테이블 레비 노이즈의 정규화 효과는 허들 연속 드리프트를 가진 열화된 SDE의 강한 잘 정의성 가능성을 보장하는가?
• RQ3 드리프트 $b$ 가 어떤 정규성 조건을 만족할 경우, $\alpha$-스테이블 노이즈에 의해 영향을 받는 랜덤 운반 방정식이 거의 확실히 유일한 $C^1_b$-해를 가질 수 있는가?

주요 결과

• 열화된 비국소 운동학 방정식 $\partial_t u = \mathscr{L}^{(\alpha)}_{\kappa;\mathrm{v}}u + b \cdot \nabla u + f$ 에 대해 $\alpha \in (1,2)$ 이고 허들 연속 계수를 가진 경우 샤우더 추정이 수립된다.
• 드리프트 $b$ 가 $(\gamma,\beta)$-허들 연속성 조건을 만족하고 $\gamma \in \left(\frac{2+\alpha}{2(1+\alpha)}, 1\right)$, $\beta \in \left(1 - \frac{\alpha}{2}, 1\right)$ 일 때, 열화된 SDE $dZ_t = b(t,Z_t)dt + (0, \sigma(t,Z_t)dL_t^{(\alpha)})$ 의 강한 잘 정의성이 입증된다.
• 거의 모든 $\omega$ 에 대해, 랜덤 운반 방정식 $\partial_t u + (b(t,x) + L_t^{(\alpha)}(\omega)) \cdot \nabla_x u = 0$ 는 $b$ 가 유계이고 $t$ 에 대해 연속적이며 $\gamma$-허들 연속성 조건을 만족하고 $\gamma \in \left(\frac{2+\alpha}{2(1+\alpha)}, 1\right)$ 일 때 유일한 $C^1_b$-해를 가진다.
• 해는 $\mathscr{C}^m$-정규화된 PDE의 반복 수열에 피카르 반복을 통해 구성되며, 모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 $C([0,T]; \mathscr{C}^m)$ 에서 수렴성이 확립된다.
• 이 방법은 $\|u_n(s)\|_{\mathscr{C}^m}$ 과 $\|u_n - u_k\|_{\mathscr{C}^m}$ 에 대한 균일한 유계성을 확보하며, 그론발과 파투의 보조정리를 통해 $\mathscr{C}^m$-위상에서 수렴성을 이끌어낸다.
• 핵심 기술적 혁신은 작은 점프 성분을 재매개변수화하기 위해 가측 변환 $g$ 를 사용하여 비국소 연산자에 고전적 PDE 기법을 적용할 수 있도록 하는 데 있다.