[논문 리뷰] Second-order BSDEs with general reflection and game options under uncertainty

Anis Matoussi, Lambert Piozin외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 50인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 일반적인 반사 경계를 가진 이중으로 반사된 두 번째 차수의 역확률미분방정식(2BSDE)이 경계의 정규성 및 분리 조건을 만족할 경우 존재성과 유일성을 확립한다. 이 2BSDE는 불확실성 있는 딜킨 게임과 연결되며, 변동성 불확실성 하에서 미국 게임 옵션을 가격 정책하는 데 새로운 프레임워크를 제공한다. 이는 고전적인 DRBSDE 이론을 금융 시장의 모델 불확실성에 확장한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is twofold. First, we extend the results of [33] concerning the existence and uniqueness of second-order reflected 2BSDEs to the case of two obstacles. Under some regularity assumptions on one of the barriers, similar to the ones in [10], and when the two barriers are completely separated, we provide a complete wellposedness theory for doubly reflected second-order BSDEs. We also show that these objects are related to non-standard optimal stopping games, thus generalizing the connection between DRBSDEs and Dynkin games first proved by Cvitanic and Karatzas [11]. More precisely, we show under a technical assumption that the second order DRBSDEs provide solutions of what we call uncertain Dynkin games and that they also allow us to obtain super and subhedging prices for American game options (also called Israeli options) in financial markets with volatility uncertainty

연구 동기 및 목표

• 한 개의 반사 경계에서 두 개의 반사 경계로 제2차 반사 BSDE의 잘 정의된 성질 이론을 확장하기 위해.
• 이중 반사 제2차 BSDE와 모델 불확실성 하에서 최적 정지 게임 간의 연결 고리를 구축하기 위해.
• 변동성 불확실성 하에서 미국 게임 옵션(이스라엘 옵션)을 가격 정책하기 위한 새로운 접근법을 제공하기 위해.
• 고전적인 DRBSDE와 딜킨 게임 간의 연결 고리를 제2차 설정으로 확장하여 불확실성 하에서 일반화하기 위해.
• 변동성 모호성 존재하는 불완전한 시장에서 슈퍼헤징 및 서브헤징을 위한 이론적 프레임워크를 개발하기 위해.

제안 방법

• 두 경계 L과 U를 가진 이중 반사 제2차 BSDE를 도입하며, 이때 해 Y는 이 두 경계 사이에 유지되어야 한다.
• 한 경계에 정규성 조건을 부과하며([10]에서 유사한 조건을 사용) 두 경계 간의 완전한 분리를 가정한다.
• 제안된 가정 하에서 존재성과 유일성을 증명하기 위해 페널티 방법과 사전 추정치를 사용한다.
• g-상위마르티ン갈에 대한 비교 정리와 페널화된 해의 수열에 대한 약한 극한을 구성한다.
• 생성자에 대한 기술적 가정을 통해 2BSDE 해와 불확실한 딜킨 게임의 가치 과정 간의 연결 고리를 수립한다.
• 이 이론을 적용하여 변동성 불확실성 하에서 미국 게임 옵션의 슈퍼헤징 및 서브헤징 가격을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 반사 제2차 BSDE가 두 경계를 가질 때 어떤 조건에서 유일한 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 제2차 반사 BSDE는 모델 불확실성 하에서 최적 정지 게임과 어떻게 연결될 수 있는가?
• RQ3 제2차 BSDE 이론은 변동성이 불확실할 경우 미국 게임 옵션을 가격 정책하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 Mokobodski 유형 조건은 제2차 반사 BSDE의 맥락에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이러한 2BSDE의 해는 불확실한 딜킨 게임의 가치 함수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 두 경계에 대해 정규성 및 분리 조건을 만족할 경우, 이중 반사 제2차 BSDE에 대한 완전한 잘 정의된 성질 이론이 확립된다.
• 생성자에 대한 기술적 가정 하에서 2BSDE의 해는 불확실한 딜킨 게임의 가치 과정을 나타낸다.
• 2BSDE 프레임워크를 통해 변동성 불확실성 존재하는 시장에서 미국 게임 옵션의 슈퍼헤징 및 서브헤징 가격을 도출할 수 있다.
• 해의 존재성은 페널티 방법과 사전 추정치를 통해 증명되며, 수렴은 약한 극한을 통해 확립된다.
• g-상위마르티ン갈에 대한 내림내림 부등식을 통해 해의 시간 정규성을 분석하였으며, 고전 결과를 제2차 설정으로 확장하였다.
• g-상위마르티ン갈에 대한 비교 정리를 사용하여 국소 시간 과정 K+와 K−의 최소 행동을 확립하였으며, 이는 해가 경계 내에 유지됨을 보장한다.