[논문 리뷰] Shimura curves within the locus of hyperelliptic Jacobians in genus three

Samuel Grushevsky, Martin Moeller|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 23.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3차 수렴의 초타원형 야코비안 다양체의 국소에서 무한히 많은 시무라 곡선을 구성하며, 명시적 주기 행렬 매개변수화와 분열 데이터 분석을 사용한다. 비완전한 쿠가 곡선이 이 국소 내에 있을 경우 반드시 특정한 $\sigma_{1+1}$ 유형에서 동일한 성장 차수를 가진 채로 분열하며, 이 곡선들이 아벨 3차원 다양체의 모듈리 공간에서 완전하지 않음을 증명한다.

ABSTRACT

We construct an infinite number of Shimura curves contained in the locus of hyperelliptic Jacobians of genus 3. In the opposite direction, we show that in genus 3 the only possible non-complete (in the moduli space of abelian threefolds) Kuga curves contained in the hyperelliptic locus have the same degeneration data as that of the examples we construct. The locus of genus 3 hyperelliptic Jacobians is a divisor within the moduli space of principally polarized abelian threefolds, and our result demonstrates the techniques we develop more generally for dealing with Shimura curves contained within a divisor in the moduli space of abelian varieties.

연구 동기 및 목표

• 3차 초타원형 야코비안 다양체의 국소 내에서 시무라 곡선과 쿠가 곡선의 존재성과 구조를 조사하는 것.
• 초타원형 국소 $\mathcal{A}_3$ 내 비완전한 쿠가 곡선이 요구하는 분열 유형을 규명하는 것.
• 복소수 매개변수를 가진 주기 행렬을 사용하여 초타원형 국소 내에서 명시적인 시무라 곡선의 가중치를 구성하는 것.
• 3차 아벨 다양체의 초타원형 국소 내에서 무한히 많은 서로 다른 시무라 곡선이 존재함을 보여주는 것.
• 주로 편극화된 아벨 다양체의 모듈리 공간 내의 초면에서 시무라 곡선을 연구하기 위한 일반적인 기법을 개발하는 것.

제안 방법

• 복소수 매개변수 $t \in \mathbb{H}$ 와 $u \in \mathbb{Q}+i\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$ 를 가진 주기 행렬 $\Pi_u(t) = \begin{pmatrix} t + iu^2 & u^2/2 & iu \\ u^2/2 & t & u \\ iu & u & i \end{pmatrix}$ 를 사용하여 아벨 3차원 다양체의 가중치를 매개변수화하는 것.
• 호모로지와 미분형식 위에서의 단일화 작용을 대각화하기 위해 심플렉틱 행렬 $B_D$, $B_H$, $S$, $S_3$ 을 이용한 기저 변경을 적용하는 것.
• 모듈러 형식과 주기 행렬의 분열 행동을 분석하기 위해 토로이드적 컴팩티피케이션 $\overline{\mathcal{A}_g}$ 을 사용하는 것.
• 주기 행렬을 이소지니 클래스 간에 연결하기 위해 $S_3 D (B_H^{-1})^T$ 와 같은 행렬로 표현된 야코비안과 곱 아벨 다양체 간의 이소지니를 활용하는 것.
• 기존의 [BL04] 에서의 Type II 곡선 주기 행렬을 기반으로 하여 $T_0T^3$ 의 대칭에 의한 종속 곡선 $Y_s$ 의 몫 가중치를 분석하는 것.
• 심플렉틱 행렬 $C_1$ 과 $C_2$ 를 조합하여 주기 행렬을 시무라 곡선의 구조를 검증하기 위해 요구되는 형태로 변환하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비완전한 쿠가 곡선이 3차 초타원형 야코비안 다양체의 국소 내에 일반적으로 포함될 경우 가능한 분열 유형은 무엇인가?
• RQ2 초타원형 국소 $\mathcal{A}_3$ 내에서 무한히 많은 서로 다른 시무라 곡선을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 곡선의 주기 행렬은 심플렉틱 기저 변경과 단일화 작용 하에서 어떻게 행동하는가?
• RQ4 복소수 곱셈과 CM 점은 이러한 시무라 곡선의 구성에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 곡선들은 변형에 대해 어느 정도 유지되며, 이소지니는 그 주기 행렬 간의 관계를 어떻게 설명하는가?

주요 결과

• 모든 비완전한 쿠가 곡선이 $\mathcal{A}_3$ 의 초타원형 국소 내에 일반적으로 포함될 경우, 특정한 $\sigma_{1+1}$ 유형에서 동일한 성장 차수를 가진 채로 분열하며, 주기 행렬의 형태 $\begin{pmatrix} t & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + M$ 으로 지정된다.
• 모든 $u \in \mathbb{Q}+i\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$ 에 대해, 가중치 $\Pi_u(t)$ 는 그 일반점이 초타원형 국소 $\mathrm{Hyp}_3$ 에 속하는 시무라 곡선을 정의한다.
• 제7.4조의 증명에 의해, $\mathrm{Hyp}_3$ 내에서 서로 다른 시무라 곡선이 무한히 존재한다.
• 모든 $u = \frac{1+i}{2}$ 에 대해, 시무라 곡선은 무논-오르트 목록에 기록된 알려진 예와 동형이며, 자동형군이 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ 로 감소된 초타원형 곡선에 대응한다.
• 가중치 $X_s$ 의 주기 행렬은 심플렉틱 행렬을 통해 레마 4.3 가 요구하는 형태로 변환되며, 이는 시무라 곡선의 구조를 확인한다.
• 야코비안 $X_{1/2}$ 에서 곱의 주기 행렬 $\begin{pmatrix} Z_2 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$ 로의 이소지니는 $S_3 D (B_H^{-1})^T$ 로 주어지며, 여기서 $D = \mathrm{diag}(1,1,1,2,1,1)$ 이다.