[논문 리뷰] Solving the Hubbard model using density matrix embedding theory and the variational quantum eigensolver

Lana Mineh, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 50인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 근접한 양자 컴퓨터에서 Hubbard 모델을 해결하기 위해 밀도 행렬 통합 이론(DMET)과 변분 양자 고유값 해법(VQE)을 조합한 하이브리드 양자-고전적 접근법을 제안한다. DMET를 사용해 전체 격자 문제를 더 작은 임베딩 해밀토니안으로 매핑함으로써, 큐비트 수요을 줄이고 VQE를 통해 정확한 기본 상태 에너지 및 관측 가능량 계산을 가능하게 하여 최대 16 큐비트까지 수치 시뮬레이션에서 고정밀 결과를 달성한다.

ABSTRACT

Calculating the ground state properties of a Hamiltonian can be mapped to the problem of finding the ground state of a smaller Hamiltonian through the use of embedding methods. These embedding techniques have the ability to drastically reduce the problem size, and hence the number of qubits required when running on a quantum computer. However, the embedding process can produce a relatively complicated Hamiltonian, leading to a more complex quantum algorithm. In this paper we carry out a detailed study into how density matrix embedding theory (DMET) could be implemented on a quantum computer to solve the Hubbard model. We consider the variational quantum eigensolver (VQE) as the solver for the embedded Hamiltonian within the DMET algorithm. We derive the exact form of the embedded Hamiltonian and use it to construct efficient ansatz circuits and measurement schemes. We conduct detailed numerical simulations up to 16 qubits, the largest to date, for a range of Hubbard model parameters and find that the combination of DMET and VQE is effective for reproducing ground state properties of the model.

연구 동기 및 목표

• 임베딩 기법을 사용해 Hubbard 모델을 해결하기 위한 확장 가능한 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• VQE 알고리즘을 통해 양자 컴퓨터에 DMET를 구현하여 기본 상태 에너지 및 관측 가능량 계산을 수행하기 위해.
• 임베딩된 해밀토니안의 양자 회로 복잡도를 분석하고 앤사츠 설계 및 측정 절차를 최적화하기 위해.
• 다양한 조각 크기와 Hubbard 모델 매개변수에 걸쳐 DMET-VQE 접근법의 정확도 및 확장성 평가하기 위해.
• 실제 구현을 위한 회로 깊이 및 측정 라운드의 복잡도 분석을 제공하기 위해.

제안 방법

• 전체 Hubbard 모델 해밀토니안을 4Nfrag 큐비트 크기의 더 작은 임베딩 해밀토니안으로 단일 스탑 DMET를 사용해 매핑한다. 여기서 Nfrag는 조각 크기이다.
• 임베딩된 해밀토니안의 정확한 형태를 유도하며, 조각과 배스 간의 상호작용을 포함하여 정밀한 양자 회로 구성이 가능하도록 한다.
• fermionic 스위프 네트워크를 활용해 양자 회로 깊이를 줄이고 효율적인 얽힘 게이트 구현을 위한 해밀토니안 변분(HV) 앤사츠를 적용한다.
• 파울리 항을 그룹화하고 대칭성을 활용하여 회로 준비 수를 최소화하는 측정 설계를 한다.
• 실제 NISQ 장치 조건을 시뮬레이션하기 위해 통계적 노이즈를 고려한 측정 프로토콜을 적용한다.
• 정확한 대각화 기준을 사용해 VQE 성능을 검증하기 위해 수치 시뮬레이션을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DMET와 VQE를 조합하여 1차원 및 2차원 Hubbard 모델의 기본 상태 성질을 양자 하드웨어에서 정확하게 재현할 수 있는가?
• RQ2 조각 크기와 시스템 차원수에 따라 두 큐비트 게이트 깊이 및 회로 준비 수로 측정되는 양자 회로 복잡도는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 통계적 노이즈는 임베딩된 DMET 프레임워크 내에서 VQE 수렴성과 관측 가능량 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 fermionic 스위프 네트워크는 임베딩된 시스템에서 VQE 앤사츠 구현의 효율성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 자원 효율성과 정확도 측면에서 DMET-VQE 접근법은 직접 절단 방법에 비해 어느 정도 뛰어나게 되는가?

주요 결과

• DMET-VQE 접근법은 정확한 대각화 및 바테 앤사츠 해법 결과와 일치하는 고정밀도로 Hubbard 모델의 기본 상태 에너지 및 관측 가능량을 재현한다.
• 4×4 조각(16 큐비트)의 경우, 앤사츠는 레이어당 두 큐비트 게이트 깊이 30과 모든 해밀토니안 항을 측정하기 위한 32회의 회로 준비가 필요하다.
• 측정에서 통계적 노이즈가 존재하는 상황에서도 정확한 결과를 도출하여 실제 NISQ 조건 하에서의 강건성을 입증한다.
• 임베딩된 해밀토니안의 회로 깊이 및 측정 비용은 직접 절단 방법보다 조각 크기에 따라 더 급격히 증가한다. 예를 들어, 4×8 Hubbard 모델의 경우 깊이 9 및 5회의 준비로 충분하다.
• fermionic 스위프 네트워크를 통해 앤사츠의 효율적 구현이 가능해져 더 큰 조각에 대한 회로 깊이 감소 및 확장성 향상에 기여한다.
• 본 연구는 DMET와 VQE를 융합한 첫 번째 전체 양자 회로 복잡도 분석을 제공하며, 향후 하드웨어 구현을 위한 실용적 지침을 제시한다.