[논문 리뷰] Spaces of Observables from Solving PDEs. I. Translation-Invariant Theory

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 20.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 31인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 이동 및 재매개변수화 불변 이론에서 제약 브라켓에서 유도된 일阶 선형 편미분방정식(PDE)을 풀어 고전적 캐논ical 관측가를 체계적으로 구성하는 방법을 개발한다. Dirac, 비제한, Chronos, 게이지 관측가라는 서로 다른 종류의 관측가를 도입하여 특성 문제의 해를 통해 그 해를 보여주며, 주요 결과로 강한 관측가와 약한 관측가가 PDE 시스템의 특정해와 보완함수해에 어떻게 대응하는지 밝혀낸다.

ABSTRACT

Finding classical canonical observables consists of taking a function space over phase space. For constrained theories, these functions must form zero brackets with a closed algebraic structure of first-class constraints. This brackets condition can moreover be recast as a first-order PDE system, to be treated as a free characteristic problem. We explore explicit observables equations and their concrete solutions for a translation- and reparametrization-invariant action, thereby populating the following variety of notions of observables with examples. 1) The brackets can be strongly or weakly zero in Dirac's sense, i.e.\ a linear combination of constraints. 2) Observables can admit pure-configuration and pure-momentum restrictions. 3) Our model provides the translation constraint P$_i$ encoding zero total momentum of the model universe and depending homogeneous-linearly on momenta, and the Chronos constraint equation of time reinterpretation of the `constant-energy condition' and depending quadratically on momenta. These are mechanical analogues of GR's momentum M$_i$ and Hamiltonian H constraints respectively. P$_i$ and Chronos moreover algebraically close separately (only M$_i$ does for GR). Our model thus supports translation gauge-observables $G$ and Chronos observables $C$, as well as unrestricted observables $U$ and Dirac observables $D$ brackets-commuting with neither and both respectively. We relate the strong to properly-weak split of weak observables to the complementary-function to particular-integral split of the complete solution, with the properly-weak rendered of measure-0 relative to the strong by the latter's free characteristicness. The closed algebraic structures form a bounded lattice and the corresponding notions of observables a dual lattice, with the observables themselves forming a presheaf of function spaces thereover.

연구 동기 및 목표

• 제약을 가진 기계 시스템에서 여러 다른 관측가 개념의 명시적 예를 제공함으로써 배경 독립적이고 시간 재매개변수화 불변 모델 내에서 특히 다루는 것.
• 제약과의 파울리 브라켓 조건에서 유도된 일阶 선형 PDE 시스템으로서 고전적 캐논ical 역학에서의 관측가 문제를 재구성함으로써 이를 해결하는 것.
• 강한 관측가와 약한 관측가 사이의 관계를 PDE의 보완함수해와 특정해 분해를 통해 명확히 하는 것.
• 제약 대수의 격자 구조와 관측가 유형에 대한 이중 격자 구조를 수립하고, 관측가들이 이 구조 위에서 프레시프를 이룬다는 것을 보여주는 것.
• 이 프레임워크를 장 이론, 양자 시스템, 그리고 국소적이거나 기하학적으로 구조화된 모델로 확장하기 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 관측가가 되기 위한 함수 조건을, 제1류 제약과의 파울리 브라켓이 0이 되는 조건에서 유도된 일阶 선형 PDE 시스템으로 기술한다.
• 특성 문제의 자유 해법을 적용하여 PDE 시스템을 특성 초면 위의 초기 자료를 가진 경계값 문제로 간주하여 풀이한다.
• 두 가지 핵심 제약 조건을 식별한다: 운동량에 선형인 이동 제약 $\mathcal{P}_i$와 운동량에 이차형인 Chronos 제약 $\mathcal{C}$로, 둘 다 닫힌 대수를 이룬다.
• 관측가의 브라켓 조건이 항등적으로 성립하는지 또는 제약의 선형 조합으로서 성립하는지에 따라 강한 관측가와 약한 관측가를 구분한다.
• 일반 해를 특정해와 보완함수로 분해하여, 약한 관측가가 강한 관측가에 비해 측도가 0임을 특성 문제의 자유 성격으로 설명한다.
• 제약 대수의 구조에 대한 유계 격자와 관측가 유형에 대한 이중 격자를 구성하며, 관측가들이 이 구조 위에서 프레시프를 이룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 불변 이론에서 PDE를 사용하여 고전적 캐논ical 관측가를 어떻게 시스템적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 강한 관측가와 약한 관측가 사이의 정확한 관계는 제약 PDE의 해 구조 측면에서 어떻게 드러나는가?
• RQ3 다른 종류의 관측가—Dirac, 비제한, Chronos, 게이지—는 제약의 대수적·기하학적 구조에서 어떻게 유도되는가?
• RQ4 PDE 시스템의 해는 특정해와 보완함수 성분으로 어떻게 분해되는가?
• RQ5 이 모델에서 제약 대수의 격자 구조는 관측가 유형의 이중 격자와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 이 모델은 일반 상대성 이론에서 제약 대수의 닫힘 성질이 없어 존재하지 않는 이동 게이지 관측가 $G$와 Chronos 관측가 $C$를 모두 실현한다.
• 이동 제약 $\mathcal{P}_i$와 Chronos 제약 $\mathcal{C}$는 각각 별개로 닫힌 대수를 이룬다. 일반 상대성 이론과 달리, 거기서는 힘의 제약 $\mathcal{H}$만이 운동량 제약과 함께 닫힌 대수를 이룬다.
• 강한 관측가는 PDE의 특정해에 대응하고, 약한 관측가는 보완함수에 대응하며, 후자는 특성 문제의 자유 성격으로 인해 측도가 0이다.
• 관측가의 공간은 제약 대수의 구조에 대한 유계 격자 위에서 프레시프를 이룬다. 이에 대응하여 관측가 유형에 대한 이중 격자도 존재한다.
• 이 모델은 구성적 관측가와 기하학적으로 보존되는 양 사이를 연결하는 '브릿지 정리'를 실현하며, $\mathcal{O}_{\mathbf{Q}}(\mathfrak{s}) = \mathcal{Q}(\mathfrak{s})$는 이를 따르는 추론이다.
• 이 프레임워크는 장 이론으로 일반화될 수 있으며, 이 경우 PDE는 함수 미분방정식(FDE)이 된다. 이는 제약 시스템에서 FDE를 다루는 향후 연구의 길을 제시한다.