[논문 리뷰] Spin Liquid Ground State of the Spin-1/2 Square $J_1$-$J_2$ Heisenberg Model

Hong‐Chen Jiang, Hong Yao외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 10.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 23

한 줄 요약

이 연구는 긴 실린더에서 고정밀 밀도행렬다중정규화그룹(DMRG) 시뮬레이션을 사용하여 스핀-1/2 정사각형 $J_1$-$J_2$ 헤이젠베르크 모형에서 위상적 양자 스핀액상(QSL) 기저 상태에 대한 강력한 수치적 증거를 제시한다. $0.41 \leq J_2/J_1 \leq 0.62$ 범위에서 발견된 QSL 상은 자화 및 발화 결합 고체(VBS) 질서가 없고, 비영인 스핀 갭과 위상적 양자 얽힘 엔트로피 $\gamma = 0.70 \pm 0.02$를 가지며, 이는 $Z_2$ 스핀액상과 일치한다.

ABSTRACT

We perform highly accurate density matrix renormalization group (DMRG) simulations to investigate the ground state properties of the spin-1/2 antiferromagnetic square lattice Heisenberg $J_1$-$J_2$ model. Based on studies of numerous long cylinders with circumferences of up to 14 lattice spacings, we obtain strong evidence for a topological quantum spin liquid state in the region $0.41\leq J_2/J_1\leq 0.62$, separating conventional Néel and striped antiferromagnetic states for smaller and larger $J_2/J_1$, respectively. The quantum spin liquid is characterized numerically by the absence of magnetic or valence bond solid order, and non-zero singlet and triplet energy gaps. Furthermore, we positively identify its topological nature by measuring a non-zero topological entanglement entropy $γ=0.70\pm 0.02$, extremely close to $γ=\ln(2) \approx 0.69$ (expected for a $Z_2$ quantum spin liquid) and a non-trivial finite size dimerization effect depending upon the parity of the circumference of the cylinder. We also point out that a valence bond solid, and indeed any discrete symmetry breaking state, would be expected to show a constant correction to the entanglement entropy of {\sl opposite} sign to the topological entanglement entropy.

연구 동기 및 목표

• 정사각형 격자에서의 강한 상호작용 스핀-1/2 $J_1$-$J_2$ 헤이젠베르크 모형의 비자화 기저 상태의 성격을 규명하기 위해.
• 중간 상이 위상적 순서 또는 대칭-breaking 발화 결합 고체(VBS) 순서를 나타내는지 확인하기 위해.
• 위상적 양자 얽힘 엔트로피(TEE)를 통한 장거리 얽힘의 직접 수치적 증거를 제공하기 위해.
• 유한한 크기의 스케일링과 경계에 의해 유도된 딤퍼리제이션 효과를 사용하여 위상적 QSL과 전통적 VBS 상태를 구별하기 위해.

제안 방법

• 폭이 $L_y = 14$에 이르는 긴 실린더 격자에서 고정밀 밀도행렬다중정규화그룹(DMRG) 시뮬레이션을 수행하였다.
• 고립된 스핀 상태와 삼중 상태의 에너지 갭을 계산하여 갭이 있는 기저 상태를 탐색하였다.
• 바나흐 공간 법칙에 따른 바나흐 엔트로피 분해를 통해 위상적 양자 얽힘 엔트로피 $\gamma$를 측정하였다.
• 실린더 둘레의 홀짝성에 따라 유한한 크기의 딤퍼리제이션 효과를 분석하여 위상적 순서를 탐지하였다.
• 경계에 의해 유도된 딤퍼리제이션 질서가 부스러기로 퍼져나가는 방식을 분석하여 장거리 VBS 질서를 배제하였다.
• 단일 위상 섹터에 대한 편향을 피하기 위해 DMRG에서 최소한의 얽힘 상태를 사용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스핀-1/2 $J_1$-$J_2$ 헤이젠베르크 모형의 중간 상이 위상적 순서인지 발화 결합 고체(VBS) 질서인지 여부는 무엇인가?
• RQ2 관측된 비자화 기저 상태가 장거리 얽힘을 가진 갭이 있는 양자 스핀액상인가?
• RQ3 위상적 양자 얽힘 엔트로피 $\gamma$의 값은 얼마이며, 이는 $Z_2$ 스핀액상에 기대되는 $\ln 2 \approx 0.69$와 일치하는가?
• RQ4 계면에 의해 유도된 딤퍼리제이션에 대한 시스템의 반응은 어떻게 되며, 이는 부스러기로 지수적으로 감쇠되는가?
• RQ5 열역학적 극한에서 위상적 순서가 존재하는 동안 장거리 VBS 질서가 없는 것이 어떻게 일치할 수 있는가?

주요 결과

• 중간 상 $0.41 \leq J_2/J_1 \leq 0.62$ 범위에서 위상적 양자 스핀액상(QSL) 상이 확인되었으며, 이는 네엘 상과 스트립형 반자화상 사이에 위치한다.
• 위상적 양자 얽힘 엔트로피 $\gamma = 0.70 \pm 0.02$가 측정되었으며, 이는 $\ln 2 \approx 0.69$와 매우 가까워 $Z_2$ 스핀액상과 일치한다.
• 자화 또는 발화 결합 고체(VBS) 질서는 탐지되지 않았으며, 정규화 극한에서 이중자화 및 딤퍼리제이션 질서가 모두 0으로 수렴한다.
• 경계에 의해 유도된 수직 딤퍼리제이션 질서가 부스러기로 지수적으로 감쇠되며, $L_y \to \infty$ 극한에서 상관 길이 $\xi_v \sim 4$로 나타나, 장거리 VBS 질서를 배제한다.
• TEE와 반대 부호의 일정한 교정항이 엔트로피에 존재하지 않는 것으로 나타나, VBS 질서를 추가로 배제한다.
• 비영인 스핀 단일 상태 갭과 삼중 상태 갭이 존재함을 확인하여, 위상적 순서를 가진 갭이 있는 기저 상태임을 입증한다.