[논문 리뷰] Stackable and queueable permutations

Peter G. Doyle|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 31.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 스택을 통한 순열(312-avoiding)과 큐를 통한 순열(321-avoiding) 사이에 자연스러운 전단사 관계를 확립한다. 양쪽 모두 카탈란 수 Cₙ로 세어지며, 이 전단사는 피크 없는 약한 딜크 경로에 대한 공통된 대응관계에서 유래한다. 여기서 스택 높이 또는 큐 길이 기록이 각 순열을 유일하게 결정한다. 저자들은 이 전단사 관계가 시몬과 스미스의 1985년 결과와 동치이며, 연습 문제의 난이도 평가가 없었다면 1968년 투헌드의 『컴퓨터 프로그래밍 기법 제1권』을 읽는 독자들이 이에 더 이르게 했을 수 있다고 주장한다. 이는 다소의 탐색적 해석을 방지했을 수 있다.

ABSTRACT

There is a natural bijection between permutations obtainable using a stack (those avoiding the pattern 312) and permutations obtainable using a queue (those avoiding 321). This bijection is equivalent to one described by Simion and Schmidt in 1985. We argue that this bijection might well have been found back in 1968 by readers of volume 1 of Knuth's *The Art of Computer Programming*, if Knuth had not assigned difficulty ratings to his exercises.

연구 동기 및 목표

• 스택을 통해 얻을 수 있는 순열(312-avoiding)과 큐를 통해 얻을 수 있는 순열(321-avoiding) 사이의 자연스러운 전단사를 규명하고 형식화하기.
• 이 전단사 관계가 시몬과 스미스의 1985년 구축과 동치이며, 피크 없는 약한 딜크 경로에 대한 공통된 대응관계에서 자연스럽게 유도됨을 보여주기.
• 이 전단사 관계가 1968년 투헌드의 『컴퓨터 프로그래밍 기법 제1권』을 읽는 독자들에 의해 더 이르게 발견되었을 수 있었는지, 만약 그렇다면 왜 그러한 발견이 이루어지지 않았는지 논의하기.

제안 방법

• 스택 가능 순열과 큐 가능 순열을 각각 스택 높이 기록과 큐 길이 기록으로 표현하며, 이들 모두 피크 없는 약한 딜크 경로를 이룬다.
• 피크 없는 약한 딜크 경로와 스택 가능(또는 큐 가능) 순열 사이의 유일한 대응관계를 이용해 두 집합 간의 전단사를 정의한다.
• 스택 기반 순열 생성을 큐를 사용해 시뮬레이션하거나 그 반대로 하여, 동일한 경로 구조가 다른 모델에서 해당하는 순열을 유도함으로써 전단사를 실현한다.
• 임의의 순열을 스택 가능 순열 집합과 큐 가능 순열 집합으로 투사하는 등급 함수 'stackit'과 'queueit'를 정의하며, 이는 집합 크기 기록 기반이다.
• 스택 가능 순열에 대해 'queueit'를 제한하면 큐 가능 순열로의 전단사가 되며, 그 역은 큐 가능 순열에 대해 'stackit'를 제한함으로써 얻어진다.
• 로빈슨-센슈타인 대응과 양 테이블로의 역사적 대체 경로를 제시하지만, 논문은 딜크 경로를 통한 보다 직접적인 접근을 선호한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 312-avoiding(스택 가능) 및 321-avoiding(큐 가능) 순열 사이의 자연스러운 전단사는 무엇이며, 이는 딜크 경로와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 왜 스택 가능 및 큐 가능 순열의 수가 모두 카탈란 수 Cₙ과 같으며, 이러한 동등성의 구조적 특징은 무엇인가?
• RQ3 이 전단사는 1968년 투헌드의 제1권 독자들에 의해 더 이르게 발견되었을 수 있었는가? 만약 그렇다면, 왜 그러한 발견이 이루어지지 않았는가?

주요 결과

• 스택 가능 순열(312-avoiding)과 큐 가능 순열(321-avoiding) 사이에 자연스러운 전단사 관계가 존재하며, 이 둘 모두 카탈란 수 Cₙ로 세어진다.
• 이 전단사는 시몬과 스미스의 1985년 결과와 동치이며, 피크 없는 약한 딜크 경로에 대한 공통된 대응관계에서 기인한다.
• 스택 가능 순열의 스택 높이 기록과 큐 가능 순열의 큐 길이 기록은 모두 피크 없는 약한 딜크 경로를 이룬다. 그리고 이러한 각 경로는 각 클래스 내 정확히 한 개의 순열에 대응한다.
• 이 전단사는 스택 작업을 큐로 시뮬레이션함으로써 실현될 수 있다. 즉, 스택 가능 순열을 큐를 사용해 생성하려고 할 경우, 그 결과로 해당하는 큐 가능 순열이 얻어진다.
• 등급 함수 'stackit'와 'queueit'는 각각 임의의 순열을 스택 가능 및 큐 가능 순열 집합으로 투사하며, 이는 집합 크기 기록 기반이다. 이 함수의 제한은 상호 역전단사 관계를 이룬다.
• 논문은 1968년 투헌드의 연습 문제 난이도 평가가 독자들이 탐색적 해석을 시도하는 것을 막았을 수 있으며, 이로 인해 이 전단사의 발견이 지연되었을 가능성을 주장한다.