[논문 리뷰] Statistical mechanics model for Clifford random tensor networks and monitored quantum circuits

Yaodong Li, Romain Vasseur외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 06.

Quantum many-body systems참고 문헌 98인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 클리포드 군의 콘mutant을 활용하여 클리포드 랜덤 텐서 네트워크와 감시된 양자 회로에 대한 정확한 통계역학적 맵핑을 제안한다. 클리포드 군을 위한 일반화된 위닝턴 함수를 유도하고, 이러한 시스템에서의 얽힘 전이가 현수체의 차원 $d = p^M$에서의 소수 $p$에만 의존하는 보편적 성질에 의해 지배됨을 보여준다. 비율 $M \to \infty$ ($p$ 고정) 및 $p \to \infty$ ($M=1$)의 극한에서 임계 행동은 퍼지기와 유사하게 나타나며, 큰 $p$에서 최소 컷 얽힘 엔트로피는 $S_A = (\sqrt{3}/\pi)\ln p \ln L_A$로 나타난다. 결과들은 임계 지수들이 퍼지기 값으로 수렴하는 광범위한 수치 시뮬레이션을 통해 확인되었다.

ABSTRACT

We introduce an exact mapping of Clifford (stabilizer) random tensor networks (RTNs) and monitored quantum circuits, onto a statistical mechanics model. With Haar unitaries, the fundamental degrees of freedom ('spins') are permutations because all operators commuting with the action of the unitaries on a tensor product arise from permutations of the tensor factors ('Schur-Weyl duality'). For unitaries restricted to the smaller Clifford group, the set of commuting operators, the 'commutant', forming the new 'spin' degrees of freedom, will be larger. We use the recent full characterization of this commutant by Gross et al., Comm. Math. Phys. 385, 1325 (2021), to construct the Clifford statistical mechanics models for on-site Hilbert space dimensions which are powers of a prime number $p$. We show that the Boltzmann weights are invariant under a symmetry group involving orthogonal matrices with entries in the finite number field ${\bf F}_p$. This implies that the symmetry group, and consequently all universal properties of entanglement transitions in Clifford circuits and RTNs will in general depend on, and only on the prime $p$. We show that Clifford monitored circuits with on-site Hilbert space dimension $d=p^M$ are described by percolation in the limits $d o \infty$ at (a) $p=$ fixed but $M o \infty$, and at (b) $M= 1$ but $p o \infty$. In the limit (a) we calculate the effective central charge, and in the limit (b) we derive the following universal minimal cut entanglement entropy $S_A =(\sqrt{3}/π)\ln p \ln L_A$ for $d=p$ large at the transition. We verify those predictions numerically, and present extensive numerical results for critical exponents at the transition in monitored Clifford circuits for prime number on-site Hilbert space dimension $d=p$ for a variety of different values of $p$, and find that they approach percolation values at large $p$.

연구 동기 및 목표

• 클리포드 랜덤 텐서 네트워크와 감시된 양자 회로에서의 얽힘 전이에 대한 통계역학적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 헤어 랜덤 유니터리에서 벗어나 클리포드 군으로의 복제 기법과 위닝턴 미적분을 확장하기 위해.
• 현수체 차원 $d = p^M$에서의 소수 $p$에 따라 얽힘 전이의 보편적 성질을 기술하기 위해.
• 큰 $p$ 및 큰 $M$ 근처에서 얽힘 엔트로피와 임계 지수에 대한 정확한 표현을 유도하기 위해.
• 광범위한 수치 시뮬레이션을 통해 보편성과 퍼지기 임계성으로의 수렴을 검증하기 위해.

제안 방법

• 클리포드 군의 유한체 $\mathbb{F}_p$ 위의 콘mutant 원소를 기본 자유도(스핀)로 하는 복제 통계역학 모델로 클리포드 RTNs와 감시된 회로를 매핑하기 위해.
• Gross 등(2021)이 제시한 클리포드 콘mutant의 완전한 특성화를 활용하여 버틀츠만 가중치와 스핀 상호작용을 정의하기 위해.
• 클리포드 군 평균을 위한 일반화된 위닝턴 함수를 유도하고, 표준 형식을 헤어 측도에서 유한군 평균으로 확장하기 위해.
• 유한체 $\mathbb{F}_p$ 위의 직교 행렬을 포함하는 대칭군을 식별하여, 얽힘 전이의 보편적 성질을 지배하기 위해.
• 감시된 회로에서 레이니 엔트로피를 계산하고 임계 행동을 추출하기 위해 복제 기법을 적용하기 위해.
• 다양한 소수 차원 $d = p$ 및 $d = p^2$에 대해 임계 지수를 수치적으로 시뮬레이션하고, 퍼지기 보편성과 비교하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클리포드 랜덤 텐서 네트워크와 감시된 양자 회로에서의 얽힘 전이가 현수체 차원 $d = p^M$에서의 소수 $p$에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ2 클리포드 RTNs와 감시된 회로의 배경이 되는 통계역학 모델은 무엇이며, 헤어 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 큰 $p$ 근처에서의 극한($M=1$)에서 얽힘 전이가 보편적 행동을 보일까? 만약 그렇다면 임계 상태에서 최소 컷 얽힘 엔트로피는 무엇인가?
• RQ4 큰 $M$ 근처에서의 극한($p$ 고정)에서 시스템은 퍼지기 유사 임계성을 보일까? 그 경우의 효과적 중심 임계수는 무엇인가?
• RQ5 감시된 클리포드 회로의 수치적 임계 지수들이 $p$가 증가함에 따라 퍼지기 값으로 수렴하는가?

주요 결과

• 고정된 $p$에서 $M \to \infty$의 극한에서 클리포드 감시 회로는 퍼지기와 동치인 임계 행동을 보이며, 효과적 중심 임계수가 명시적으로 유도되었다.
• $p \to \infty$의 극한에서 $M=1$일 경우, 전이 시점에서 최소 컷 얽힘 엔트로피는 $S_A = (\sqrt{3}/\pi)\ln p \ln L_A$로 스케일링되며, 이는 보편적 예측으로서 수치적으로 확인되었다.
• 수치 결과는 $d = p$인 감시된 클리포드 회로에서 임계 지수들이 $p$가 증가함에 따라 퍼지기 값으로 수렴함을 보여주며, 보편성에 대한 지지를 제공한다.
• 클리포드 군을 위한 일반화된 위닝턴 함수가 유도되었으며, 이들이 $\mathbb{F}_p$ 위의 직교 변환에 대해 불변임을 보여, 보편적 행동의 대칭 기반 분류를 확립하였다.
• 클리포드 군의 콘mutant은 통계역학 모델의 기초를 이루며, 그 구조가 시스템의 버틀츠만 가중치와 대칭성을 결정한다.
• 결과는 클리포드 군을 초월하여, 알려진 콘mutant을 갖는 임의의 양자 회로 또는 RTN은 동일한 형식을 사용해 통계역학 모델로 매핑될 수 있다.