[논문 리뷰] Teichmueller flow and Weil-Petersson flow

Ursula Hamenstaedt|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 05.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비예외적 표면에 대한 이차 미분형식의 모듈리 공간에서 테이히뮐러 흐름과 윌-피터슨 흐름 사이의 가측성 공액성을 확립한다. 테이히뮐러 모듈리 공간의 전측 불변 부분집합에서 윌-피터슨 모듈리 공간으로의 가측 사상 Λ를 구성하여, 두 흐름을 공액화하고, 불변 확률 측도의 연속적 단사 사상 유도하며, 이 이미지에는 르베그–리우빌 측도가 포함되지만 전사적이지는 않다.

ABSTRACT

For a non-exceptional oriented surface S let Q(S) be the moduli space of area one quadratic differentials. We show that there is a Borel subset E of Q(S) which is invariant under the Teichmueller flow F^t and of full measure for every invariant Borel probability measure, and there is a measurable conjugacy of the restriction of F^t to E into the Weil-Petersson flow. This conjugacy induces a continuous injection H of the space of invariant Borel probability measures for F^t into the space of invariant Borel probability measures for the Weil-Petersson flow. The map H is not surjective, but its image contains the Lebesgue Liouville measure.

연구 동기 및 목표

• 이차 미분형식의 모듈리 공간에서 테이히뮐러 흐름과 윌-피터슨 흐름 간의 동역학적 관계를 이해하는 것.
• 테이히뮐러 모듈리 공간의 전측 불변 부분집합에서 두 흐름 간의 가측성 공액성을 구성하는 것.
• 불변 확률 측도 위상에 유도된 사상의 이미지를 분석하고, 르베그–리우빌 측도와의 관계를 규명하는 것.
• 특히 에르고딕성과 절대 연속성과의 관련에서 흐름에 대한 불변 측도의 구조를 조사하는 것.

제안 방법

• 테이히뮐러 흐름에 대해 불변이면서, 모든 불변 보렐 확률 측도에 대해 전측 측도를 가지는 보렐 부분집합 𝒫 ⊂ ℚ(S)를 정의한다.
• 테이히뮐러 흐름 Φ^t_T의 𝒫 위에서의 제약과 윌-피터슨 흐름 Φ^t_WP의 ℚ_WP(S) 위에서의 제약을 공액화하는 가측 사상 Λ: 𝒫 → ℚ_WP(S)를 구성한다.
• 공액성을 통해 ℚ(S) 위에서 Φ^t_T-불변 보렐 확률 측도의 공간에서 ℚ_WP(S) 위에서 Φ^t_WP-불변 보렐 확률 측도의 공간으로의 연속적 단사 사상 유도.
• 이 사상의 이미지를 분석하여, 르베그–리우빌 측도를 포함하지만 전사적이지 않음을 보이며, 전사적이지 않은 측도는 ℚ(S) 위의 국소 유한한 무한 불변 측도에 대응함을 밝힌다.
• 울프르의 펜클-니엘센 공식을 활용하여 윌-피터슨 켈러 형식의 체적 성장률을 추정하고, 르베그–리우빌 측도에 대해 핵심 함수 f의 적분 가능성을 확립한다.
• 포앙카레 재진입과 마수르의 유일 에르고딕 측도 레이어에 대한 결과를 활용하여, ℚ_WP(S) 내의 일반적인 점들을 특성화하고, 사영 측도 레이어 위에서의 불변 측도를 분해를 통해 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 면적 1인 이차 미분형식의 모듈리 공간에서 테이히뮐러 흐름과 윌-피터슨 흐름 사이에 가측성 공액성이 존재하는가?
• RQ2 불변 측도 위상에 유도된 사상은 에르고딕성과 단사성을 유지하는가? 이 사상의 이미지는 무엇인가?
• RQ3 윌-피터슨 흐름에 대한 르베그–리우빌 측도는 테이히뮐러 불변 측도의 이미지로 표현될 수 있는가?
• RQ4 윌-피터슨 모듈리 공간 내의 일반적인 점들의 집합의 구조는 무엇이며, 불변 측도와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 특히 엔트로피와 불변 측도의 절대 연속성 측면에서 두 흐름의 동역학적 성질를 어떻게 비교할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 Φ^t_T-불변 보렐 확률 측도에 대해 전측 측도를 가지며, 테이히뮐러 흐름에 대해 불변인 보렐 부분집합 𝒫 ⊂ ℚ(S)가 존재한다.
• 테이히뮐러 흐름 Φ^t_T|𝒫 와 윌-피터슨 흐름 Φ^t_WP 사이를 공액화하는 가측 사상 Λ: 𝒫 → ℚ_WP(S)가 존재한다.
• 공액성은 ℚ(S) 위에서 Φ^t_T-불변 보렐 확률 측도의 공간에서 ℚ_WP(S) 위에서 Φ^t_WP-불변 보렐 확률 측도의 공간으로의 연속적 단사 사상 유도한다.
• 이 사상의 이미지는 윌-피터슨 계량에 대한 르베그–리우빌 측도를 포함하지만, 전사적이지 않다.
• 이미지에 포함되지 않는 측도는 ℚ(S) 위의 국소 유한한 무한 불변 보렐 측도에 대응한다.
• 짧은 곡선 근처의 거리-각도 좌표에서의 체적 성장률과 관련된 함수 f는 르베그–리우빌 측도 ν에 대해 적분 가능하며, 이는 구성의 측도 이론적 일관성을 확인한다.