[논문 리뷰] Test vectors for finite periods and base change

U. K. Anandavardhanan, Nadir Matringe|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 10.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $H$가 $\mathrm{GL}_n(F)$ 또는 $\mathrm{U}(n,E/F)$인 경우, $\mathrm{GL}_n(E)$의 일반적이고 $H$-구분된 표현 $\pi$의 윌러링 모델에서 유일한 $H$-불변 벡터에 대한 명시적 공식을 제시한다. 이 공식은 $\pi$의 베타 함수를 이용하며, 핵심 결과로는 항등원에서의 $H$-평균 값이 기저 변경 표현의 차원 비율로 주어지며, 이는 유한체 및 $p$-진 설정에서의 구분과 기저 변경을 연결한다.

ABSTRACT

Let $E/F$ be a quadratic extension of finite fields. By a result of Gow, an irreducible representation $π$ of $G = { m GL}_n(E)$ has at most one non-zero $H$-invariant vector, up to multiplication by scalars, when $H$ is ${ m GL}_n(F)$ or ${ m U}(n,E/F)$. If $π$ does have an $H$-invariant vector it is said to be $H$-distinguished. It is known, from the work of Gow, that $H$-distinction is characterized by base change from ${ m U}(n,E/F)$, due to Kawanaka, when $H$ is ${ m GL}_n(F)$ (resp. from ${ m GL}_n(F)$, due to Shintani, when $H$ is ${ m U}(n,E/F)$). Assuming $π$ is generic and $H$-distinguished, we give an explicit description of the $H$-invariant vector in terms of the Bessel function of $π$. Let $ψ$ be a non-degenerate character of $N_G/N_H$ and let $B_{π,ψ}$ be the (normalized) Bessel function of $π$ on the $ψ$-Whittaker model. For the $H$-average \[W_{π,ψ} = \frac{1}{|H|} \sum_{h\in H} π(h) B_{π,ψ}\] of the Bessel function, we prove that \[W_{π,ψ}(I_n) = \frac{{ m dim}ρ}{{ m dim} π} \cdot \frac{|{ m GL}_n(E)|}{|{ m GL}_n(F)| |{ m U}(n,E/F)|},\] where $ρ$ is the representation of ${ m U}(n,E/F)$ (resp. ${ m GL}_n(F)$) that base changes to $π$ when $H$ is ${ m GL}_n(F)$ (resp. ${ m U}(n,E/F)$). As an application we classify the members of a generic $L$-packet of ${ m SL}_n(E)$ that admit invariant vectors for ${ m SL}_n(F)$. Finally we prove a $p$-adic analogue of our result for square-integrable representations in terms of formal degrees by employing the formal degree conjecture of Hiraga-Ichino-Ikeda \cite{hii08}.

연구 동기 및 목표

• 일반적이고 $H$-구분된 표현 $\pi$의 $\mathrm{GL}_n(E)$에서 윌러링 모델의 유일한 $H$-불변 벡터를 명시적으로 기술하는 것.
• 표현 $\pi$의 베타 함수의 항등원에서의 $H$-평균에 대한 정확한 공식 수립.
• 기저 변경을 통한 $H$-구분과의 연결을 차원과 형식적 차수를 포함한 명시적 공식을 통해 수립하는 것.
• 히라가-이치노-이케다의 형식적 차수 추측을 이용하여, 유한체 결과를 $p$-진 설정으로 확장하는 것.
• 표현 $\mathrm{SL}_n(E)$의 일반적 $L$-패킷 중에서 $\mathrm{SL}_n(F)$-불변 벡터를 가지는 것을 분류하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $\mathrm{GL}_n(E)$의 일반적 표현 $\pi$의 $\psi$-윌러링 모델을 사용하며, $\psi$는 $N_H$에서 자명한 비퇴화된 특성이다. 이때 정규화된 베타 함수 $B_{\pi,\psi}$를 정의한다.
• 베타 함수의 $H$-평균을 계산한다: $W_{\pi,\psi}(I_n) = \frac{1}{|H|} \sum_{h \in H} \pi(h) B_{\pi,\psi}$이며, 항등원에서의 값을 유도한다.
• 핵심 항등식은 $W_{\pi,\psi}(I_n) = \frac{\dim \rho}{\dim \pi} \cdot \frac{|\mathrm{GL}_n(E)|}{|\mathrm{GL}_n(F)| \cdot |\mathrm{U}(n,E/F)|}$이며, 여기서 $\rho$는 $H$에서 기저 변경된 표현이다.
• $p$-진 경우에 대해, 히라가-이치노-이케다의 형식적 차수 추측을 활용하여 $\pi$의 형식적 차수와 그 기저 변경 표현 $\rho$의 형식적 차수를 연결함으로써, 유한체 결과의 $p$-진 유사체를 도출한다.
• $L$-함수의 함수-equation과 $\epsilon$-인자, 특히 $\gamma(s, \pi, r, \psi)$를 이용하여 $L$-값의 비율과 형식적 차수의 비율을 연결한다.
• 특히, 정방형 적분 가능하고 구분된 표현에 대해 $\epsilon(1/2, \pi, r, \psi) = 1$임이 알려진 결과를 적용하여 최종 표현을 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적이고 $H$-구분된 표현 $\pi$의 $\mathrm{GL}_n(E)$에서 베타 함수의 항등원에서의 $H$-평균 값은 무엇인가?
• RQ2 윌러링 모델에서의 $H$-불변 벡터는 $H$에서 기저 변경된 표현 $\rho$와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 형식적 차수 추측을 이용하여, 유한체 결과의 테스트 벡터를 $p$-진 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 $p$-진 설정에서 $\pi$의 형식적 차수와 기저 변경 표현 $\rho$의 차원 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 $\mathrm{SL}_n(E)$의 일반적 $L$-패킷에 속하는 어떤 표현들이 $\mathrm{SL}_n(F)$-불변 벡터를 가지는가?

주요 결과

• 항등원에서의 $H$-평균은 $W_{\pi,\psi}(I_n) = \frac{\dim \rho}{\dim \pi} \cdot \frac{|\mathrm{GL}_n(E)|}{|\mathrm{GL}_n(F)| \cdot |\mathrm{U}(n,E/F)|}$로 주어지며, 여기서 $\rho$는 $H$에서 기저 변경된 표현이다.
• $p$-진 설정에서 정방형 적분 가능 표현에 대해, 윌러링 모델 위의 선형 함수 $\lambda$는 $\lambda \sim \frac{d(\rho)}{d(\pi)} \cdot \ell$를 만족한다. 여기서 $d(\cdot)$는 형식적 차수를 의미한다.
• 정방형 적분 가능하고 $H$-구분된 표현에 대해 $\epsilon(1/2, \pi, r, \psi) = 1$이 성립하여, 함수-방정식 분석이 단순화된다.
• 결과는 $H$-불변 벡터가 베타 함수와 기저 변경 표현을 통해 명시적으로 결정되며, 형식적 차수 추측을 통해 비례 상수도 명시적으로 드러난다.
• 논문은 테스트 벡터 공식을 활용하여 $\mathrm{SL}_n(E)$의 일반적 $L$-패킷에서 $\mathrm{SL}_n(F)$-불변 벡터를 가지는 표현을 분류한다.
• 유한체 결과는 $p$-진 결과의 유한체 유사체이며, 적절한 정규화 하에 베타 함수는 $\ell(B_{\pi}) = 1$을 만족한다.