[논문 리뷰] The Haagerup property is not invariant under quasi-isometry

Mathieu Carette, Whyte, Kevin외 3명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 21.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 Baumslag-Solitar 군을 사용하여 명시적인 반례를 구성함으로써, 유한 생성 군에 대해 Haagerup 성질과 약한 면밀성은 등거리성 불변성이 아님을 보여준다. Whyte와 Cornulier-Valette의 등거리성 구조 및 호로노미 사상에 기반하여, 등거리성 쌍 중 한 쪽은 Haagerup 성질과 약한 면밀성을 가지지만 다른 쪽은 둘 다 갖지 않는 경우를 보여주어 기하군론에서 열려있던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Using the work of Cornulier-Valette and Whyte, we show that neither the Haagerup property nor weak amenability is invariant under quasi-isometry of finitely generated groups.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 군에 대해 Haagerup 성질과 약한 면밀성이 등거리성에 의해 보존되는지 여부를 규명하는 것.
• 2007년 [CTV07]에서 제기된 이 성질들의 등거리성 불변성에 관한 열린 문제를 해결하는 것.
• 등거리성 불변성으로서의 등변 $L^p$-압축성으로의 분석 확장.
• 한 쪽은 Haagerup 성질과 약한 면밀성을 가지며 다른 쪽은 그렇지 않은 등거리성 군의 명시적 예를 구성하는 것.

제안 방법

• 일반화된 Baumslag-Solitar 군(GBS$_n$)을 $\mathbb{Z}^n$들의 그래프의 기본군으로 사용한다.
• Haagerup 성질과 약한 면밀성을 특징짓기 위해 호로노미 사상 $\operatorname{hol}: \Gamma \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$를 활용한다.
• Whyte의 GBS$_n$ 군에 대한 등거리성 분류를, 호로노미 이미지의 하우스도르프 등가성에 기반하여 적용한다.
• 자기연속 등거리 사상 $\eta: F_2 \to F_3$를 사용하여 군 확장 사이의 섬유를 유지하는 등거리성을 구성한다.
• Cornulier-Valette의 결과를 활용하여 호로노미 폐쇄에 기반한 Haagerup 성질과 약한 면밀성에 대해 고려한다.
• 등변 사상에 의한 $L^p$-압축성 분석을 수행하며, 정의 $\alpha_p^\sharp(G) = \sup \operatorname{comp}_p(f)$를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성 군에 대해 Haagerup 성질은 등거리성에 대해 불변인가?
• RQ2 약한 면밀성은 등거리성에 의해 보존되는가?
• RQ3 등변 $L^p$-압축성의 소멸($\alpha_p^\sharp = 0$)은 등거리성에 대해 불변인가?
• RQ4 등거리성 군은 Haagerup 또는 약한 면밀성 상태에서 다를 수 있는가?
• RQ5 호로노미 사상은 GBS$_n$ 군에서 이러한 성질을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Haagerup 성질과 약한 면밀성은 등거리성 불변성이 아니며, 이는 한 쪽은 둘 다 갖는 등거리성 유한 생성 군 쌍을 구성함으로써 입증된다.
• $1 \leq p \leq 2$에 대해, Haagerup 군 $\Gamma$에 대해 $L^p$-압축성 $\alpha_p^\sharp(\Gamma) = \frac{1}{p}$이며, 비-Haagerup 군 $\Lambda$에 대해 $\alpha_p^\sharp(\Lambda) = 0$이다.
• 반례는 자유군 간의 등거리 사상에 기반한 $\mathbb{R}^2 \rtimes F_2$와 $\mathbb{R}^2 \rtimes F_3$ 사이의 등거리성에 의존한다.
• 두 군의 호로노미 이미지는 하우스도르프 등가이며, Whyte의 등거리성 기준을 만족하지만, Haagerup 성질과 약한 면밀성 성질은 다르다.
• $L^p$-압축성 소멸은 등거리성 불변성이 아니며, 등거리성 군 간에 $\alpha_p^\sharp$가 다름을 보여준다.
• 결과는 단조적이며 컴act하게 생성된 국소 콤��� 군으로 확장되며, $\mathbb{R}^2 \rtimes F_2$와 $\mathbb{R}^2 \rtimes F_3$가 등거리성임을 보이고, Haagerup 및 약한 면밀성에서 다름을 보인다.