[논문 리뷰] The inhomogeneous Allen--Cahn equation and the existence of prescribed-mean-curvature hypersurfaces

Costante Bellettini, Neshan Wickramasekera|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 12.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 차원 $n+1 \geq 3$인 컴acts 리만다이언만드의 $C^{2,\alpha}$ 초표면이 존재함을 보이며, 이 초표면은 비음수 리프시츠 함수 $g$와 연속 단위법선 $ \nu$를 갖는 주어진 평균 곡률 $g\nu$를 갖는다. 증명은 비동차 앨런-클로우 방정식과 변량체 정규성 이론을 기반으로 한 PDE 기반의 최소-최대 구성법을 사용하며, 특이점 집합의 하우스도르프 차원이 통제 가능하고, 근사에 대해 안정적인 초표면이 됨을 보여준다.

ABSTRACT

We prove that for any given compact Riemannian manifold $N$ of dimension $n+1 \geq 3$ and any non-negative Lipschitz function $g$ on $N$, there exists a quasi-embedded, boundaryless hypersurface $M \subset N,$ of class $C^{2, α}$ for any $α\in (0,1),$ such that $M$ is the image of a two-sided immersion whose mean curvature is given by $gν$ for an appropriate choice of continuous unit normal $ν$ to the immersion; and moreover, the singular set $Σ= \overline{M} \setminus M$ is empty if $2 \leq n \leq 6,$ finite if $n=7$ and satisfies ${\mathcal H}^{n-7 + γ}(Σ) = 0$ for every $γ>0$ if $n \geq 8$. Here quasi-embedded means that near every non-embedded point, $M$ is the union of two embedded $C^{2, α}$ disks intersecting tangentially with each disk lying on one side of the other. If $g >0$ then $\overline{M}$ is the boundary of a Caccioppoli set. Our proof of this theorem is PDE theoretic and relies, when $g>0$ and $g\in C^{1,1}(N)$, on (i) a mountain pass construction of solutions to the inhomogeneous Allen--Cahn equation and (ii) a regularity result for integral varifolds arising from a Morse-index bounded, energy bounded, sequence of solutions to the (inhomogeneous) Allen--Cahn equation. The case of non-negative Lipschitz $g$ follows by approximation, based on the estimates that we establish.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트 리만다이언만드에서 주어진 평균 곡률 $g\nu$를 갖는 초표면의 존재성을 확립하는 것.
• 함수 $g$가 음수가 아니며 리프시츠 함수일 때, 이러한 초표면을 구성하는 데 도전 과제를 해결하는 것.
• 특히 고차원에서의 경우에 대해 결과 초표면의 특이점 집합의 구조와 정규성에 대한 통제를 하는 것.
• 앨런-클로우 방정식의 최소-최대 방법을 비제로 평균 곡률을 갖는 비동차 경우로 확장하는 것.
• 앨런-클로우 해로부터 유도된 극한 변량체가 최소 성분을 제외한 영역에서는 정규적이며, 필요에 따라 최소 성분을 제거할 수 있음을 보이는 것.

제안 방법

• 비제로 평균 곡률을 갖는 비동차 앨런-클로우 방정식 $-\varepsilon\Delta u + \varepsilon^{-1}W'(u) = \sigma g$의 유계해 $u_\varepsilon$를 생성하기 위해 산맥 렘마를 활용한 최소-최대 구성법을 사용하며, $\varepsilon > 0$이 작을 때 적용한다.
• 해 $u_\varepsilon$에 대한 균일한 에너지 및 모스 지수 유계를 확립하여 변량체 극한에서의 컴팩턴스를 보장한다.
• 비변량체 변량체 정규성 이론을 적용하여, 수열 $u_{\varepsilon_j}$로부터 유도된 임의의 극한 변량체 $V$가 가능한 최소 성분을 제외한 영역에서는 $C^{2,\alpha}$ 정규성을 갖는다는 것을 보인다.
• 특히 잘 설계된 초기 자료를 갖는 비선형 경량 흐름(앨런-클로우 흐름)을 사용하여 최소 극한 변량체를 비최소로 편향시켜, 최종 극한이 순수하게 최소가 되지 않도록 보장한다.
• 정규 극한 변량체에서 최소 성분을 제거하여 $C^{2,\alpha}$ 초표면이 평균 곡률 $g\nu$를 갖는 것을 분리한다.
• 안정성과 밀도 추정에 기반한 국소 블로업 분석 및 컷오프 함수 기법을 사용하여 극한 변량체의 $C^{2,\alpha}$ 정규성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 비음수 리프시츠 함수 $g$에 대해, 콤팩트 리만다이언만드에서 $C^{2,\alpha}$ 초표면을 주어진 평균 곡률 $g\nu$로 구성할 수 있는가?
• RQ2 특히 차원 $n \geq 7$일 때, 이러한 초표면의 특이점 집합의 구조와 하우스도르프 차원은 어떻게 되는가?
• RQ3 앨런-클로우 근사로부터 유도된 극한 변량체가 정규적이며 순수하게 최소가 아니라는 것을 어떻게 보장할 수 있는가?
• RQ4 비동차 앨런-클로우 방정식에 대해 최소-최대 방법을 어떻게 적응시켜 비제로 평균 곡률을 갖는 해를 생성할 수 있는가?
• RQ5 최소 극한 변량체가 어떤 조건에서 비최소이고 정규적인 극한으로 변형될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 차원 $n+1 \geq 3$인 콤팩트 리만다이언만드 $N$과 모든 비음수 리프시츠 함수 $g$에 대해, 연속 단위법선 $ \nu$를 갖는, $C^{2,\alpha}$ 초표면 $M \subset N$이 존재하며, 이 초표면의 평균 곡률은 $H_M = g\nu$이다.
• 특이점 집합 $\overline{M} \setminus M$는 $2 \leq n \leq 6$일 때는 공집합이며, $n = 7$일 때는 유한집합이며, $n \geq 8$일 때는 모든 $\gamma > 0$에 대해 $\mathcal{H}^{n-7+\gamma}(\Sigma) = 0$을 만족한다.
• 앨런-클로우 근사로부터 유도된 극한 변량체 $V$는 가능한 최소 성분을 제외한 영역에서는 $C^{2,\alpha}$ 정규성을 갖는다. 이 최소 성분은 매끄럽게 제거될 수 있다.
• 만약 극한 변량체가 순수하게 최소일 경우, 새로운 해 수열을 앨런-클로우 흐름을 통해 구성하여 비최소 극한 변량체를 생성하며, 이는 다시 제거 후에 정규성을 갖는다.
• 최종로 유도된 초표면 $M$은 평균 곡률 $g\nu$를 갖는 양면 $C^{2,\alpha}$ 매장의 이미지이며, $g > 0$일 경우 $\overline{M}$은 카치오피올리 집합의 감소 경계의 클로저이다.
• 이 방법은 주어진 평균 곡률 함수가 음수 또는 음수가 아닐 경우에도 적용 가능하며, 법선 방향을 뒤집는 것으로 처리할 수 있다.