[논문 리뷰] The Structure of Models of Second-order Set Theories

Kameryn J. Williams|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 25.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 36인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 두 번째 차수 집합론 이론의 모델 구조를 연구하며, 특히 $\mathsf{GBC}$, $\mathsf{KM}$ 및 관련 체계에 중점을 둔다. 이는 가산 $\mathsf{ZFC}$ 모델의 $T$-실현 가능성의 부분순서 집합이 매우 복잡함을 입증한다—모든 가산 부분순서가 포함되며, 유한 부분순서의 상계 존재 여부를 유지함—同시에 $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}_{\mathrm{Ord}}$와 같은 약한 이론은 최소 전이 모델을 가지며, $\mathsf{KM}$과 같은 강력한 이론은 그렇지 않음을 증명하여, 두 번째 차수 산술과의 뚜렷한 대비를 드러낸다.

ABSTRACT

This dissertation is a contribution to the project of second-order set theory, which has seen a revival in recent years. The approach is to understand second-order set theory by studying the structure of models of second-order set theories. The main results are the following, organized by chapter. First, I investigate the poset of $T$-realizations of a fixed countable model of $\mathsf{ZFC}$, where $T$ is a reasonable second-order set theory such as $\mathsf{GBC}$ or $\mathsf{KM}$, showing that it has a rich structure. In particular, every countable partial order embeds into this structure. Moreover, we can arrange so that these embedding preserve the existence/nonexistence of upper bounds, at least for finite partial orders. Second I generalize some constructions of Marek and Mostowski from $\mathsf{KM}$ to weaker theories. They showed that every model of $\mathsf{KM}$ plus the Class Collection schema "unrolls" to a model of $\mathsf{ZFC}^-$ with a largest cardinal. I calculate the theories of the unrolling for a variety of second-order set theories, going as weak as $\mathsf{GBC} + \mathsf{ETR}$. I also show that being $T$-realizable goes down to submodels for a broad selection of second-order set theories $T$. Third, I show that there is a hierarchy of transfinite recursion principles ranging in strength from $\mathsf{GBC}$ to $\mathsf{KM}$. This hierarchy is ordered first by the complexity of the properties allowed in the recursions and second by the allowed heights of the recursions. Fourth, I investigate the question of which second-order set theories have least models. I show that strong theories---such as $\mathsf{KM}$ or $Π^1_1 ext{-}\mathsf{CA}$---do not have least transitive models while weaker theories---from $\mathsf{GBC}$ to $\mathsf{GBC} + \mathsf{ETR}_\mathrm{Ord}$---do have least transitive models.

연구 동기 및 목표

• 고정된 가산 $\mathsf{ZFC}$ 모델에 대한 $T$-실현 가능성의 부분순서 집합을 분석하여 두 번째 차수 집합론 이론의 모델 구조를 이해한다.
• 이론 $\mathsf{KM}$에서의 언롤링 구성의 일반화를 $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}$와 같은 더 약한 이론으로 확장하고, 그 결과 이론을 계산한다.
• $\mathsf{GBC}$에서 $\mathsf{KM}$까지의 무한대 재귀 원리의 계층을, 성질의 복잡성과 재귀의 높이에 따라 정렬한다.
• 어느 두 번째 차수 집합론 이론이 최소 전이 모델을 갖는지 규명하고, 강력한 이론과 약한 이론 사이에 뚜렷한 분리가 존재하는지를 확인한다.

제안 방법

• 이론 $T$가 $\mathsf{GBC}$ 및 $\mathsf{KM}$인 가산 $\mathsf{ZFC}$ 모델의 $T$-실현 가능성 부분순서 집합을 분석하여, 모든 가산 부분순서가 포함됨을 증명한다.
• 모델을 $\mathsf{ZFC}^{-}$ 모델로 변환하기 위해 언롤링 구성 기법을 적용하고, 가장 큰 기수를 가진다. 마레크와 모스토프스키의 결과를 더 약한 이론으로 확장한다.
• 클래스 내에서 잘라내기 및 구축 가능한 유니버스 구성 기법을 사용하여 최소 모델 및 $\beta$-모델을 분석한다.
• 성질의 복잡성과 재귀의 높이에 기반한 무한대 재귀 원리의 계층을 도입한다.
• 비표준 콪팩트성 및 적합한 커버 기법을 적용하여 $\beta$-모델과 정렬된 클래스를 분석한다.
• 넓은 범위의 두 번째 차수 집합론 이론에 대해 $T$-실현 가능성의 하향 절대성 성질을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 두 번째 차수 집합론 이론이 최소 전이 모델을 갖는가? 이 성질은 무엇으로 특징지어지는가?
• RQ2 고정된 가산 $\mathsf{ZFC}$ 모델의 $T$-실현 가능성의 부분순서 집합은 $\mathsf{GBC}$ 및 $\mathsf{KM}$과 같은 이론에서 얼마나 복잡한가?
• RQ3 언롤링 구성 기법은 $\mathsf{KM}$에서 $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}$와 같은 더 약한 이론으로 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ4 $\mathsf{GBC}$에서 $\mathsf{KM}$까지의 무한대 재귀 원리의 강도는 어떻게 변화하며, 그 계층은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ5 두 번째 차수 산술과 두 번째 차수 집합론 이론 간의 최소 모델 및 $\operatorname{Hyp}(V)$의 정의 가능성에 대한 유사점과 이질점은 무엇인가?

주요 결과

• 가산 $\mathsf{ZFC}$ 모델의 $T$-실현 가능성 부분순서 집합은 매우 복잡하다: 모든 가산 부분순서가 포함되며, 이 임베딩은 유한 부분순서의 상계 존재 여부를 유지한다.
• $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}_{\mathrm{Ord}}$는 최소 전이 모델을 갖지만, $\mathsf{KM}$이나 $\Pi_{1}^{1}\text{-}\mathsf{CA}$와 같은 더 강력한 이론은 최소 전이 모델을 갖지 않는다.
• $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}$의 언롤링은 가장 큰 기수를 가진 $\mathsf{ZFC}^{-}$ 모델을 생성하며, 다양한 두 번째 차수 집합론 이론에 대해 그 결과 이론을 계산하였다.
• 무한대 재귀 원리는 엄밀한 계층을 이룬다: $\mathsf{GBC} \ll \mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}_{\mathrm{Ord}} \ll \cdots \ll \mathsf{KM}$, 이는 재귀의 복잡성과 높이에 따라 정렬된다.
• 잘려진 순서의 성질은 집합론에서는 일阶논리지만 산술에서는 두 번째 차수 이론이므로, 핵심적인 이질점이 설명된다—예를 들어 $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}$는 $\operatorname{Hyp}(V)$를 코딩할 수 있지만, $\mathsf{ATR}_0$는 그렇지 않다.
• $\mathsf{ATR}_0$는 최소 $\omega$-모델이나 $\beta$-모델을 갖지 않지만, $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}_{\mathrm{Ord}}$는 최소 $\beta$-모델을 갖는다. 이는 산술과 집합론의 역학적 역학에서의 근본적인 분리점을 보여준다.