[논문 리뷰] Topics in Two-Loop Superstring Perturbation Theory

Eric D’Hoker|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 21.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 46인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 ℤ₂×ℤ₂ 칼라비-야우 오비폭스 위에 압축된 헤테로지식 스트링 이론에 초점을 맞춘 두 루프 초스트링 양자역학 이론에 대한 종합적인 개요를 제시한다. 모듈러 형식과 스핀 구조 합을 사용하여 두 루프 진공 에너지를 유도한 결과, $E_8\times E_8$ 헤테로지크 스트링은 상쇄로 인해 진공 에너지가 0이 되며, $τ\mathrm{Spin}(32)/\mathbb{Z}_2$는 $U(1)$ 게이지 인자와 양자역학적 초대칭 위반의 존재와 일치하는 비영인 진공 에너지를 보인다.

ABSTRACT

In this contribution to the Proceedings of the Conference on Analysis, Complex Geometry, and Mathematical Physics, an expository overview of superstring perturbation theory to two loop order is presented to an audience of mathematicians and physicists. Recent results on perturbative supersymmetry breaking effects in Heterotic string theory compactified on Z_2 imes Z_2 Calabi-Yau orbifolds, and the calculation of the two-loop vacuum energy in these theories are discussed in detail, and the appearance of a new modular identity with respect to Sp(4,Z)/Z_4 is reviewed.

연구 동기 및 목표

• 수학자들과 물리학자들을 대상으로 두 루프 초스트링 양자역학 이론에 대한 통합적이고 기초적인 개요를 제공하는 것.
• $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ 칼라비-야우 오비폭스 위에 압축된 헤테로지크 스트링 이론에서의 양자역학적 초대칭 위반을 분석하는 것.
• 모듈러 형식과 슈퍼모듈리 공간 기하학을 사용하여 이러한 모델에서의 두 루프 진공 에너지를 계산하는 것.
• 슈퍼 모듈리 공간의 경계 기여에 대해 델리뉴-맘포우 컴actification 경계가 수행하는 역할을 규명하는 것.
• 성질이 $τ\mathrm{Sp}(4,\mathbb{Z})/\mathbb{Z}_4$에 대해 새로운 모듈러 항등식을 유도하고, 종수 2 앰리튜드의 맥락에서 적용하는 것.

제안 방법

• 형식은 종수 2가 첫 번째 비자명한 경우인 슈퍼 리만 곡면과 그 슈퍼 모듈리 공간에 기반한다.
• 암시적 진폭은 시겔 제타 함수와 야코비 제타 함수를 사용하여 구성되며, 이는 모듈러 불변성을 보장한다.
• 진공 에너지는 종수 2 모듈리 공간 $\mathfrak{M}_2$ 의 경계에 대한 통합을 통해 계산되며, 특히 분리되는 기울기의 경우에 집중한다.
• 스핀 구조 합은 특히 $C_\delta[\mathfrak{e}] = C_{\delta_*}[\mathfrak{e}]\langle\delta_*|\delta\rangle$ 와 같은 모듈러 불변성 관계를 사용하여 평가된다.
• GSO 프로젝션과 비틀린 섹터 기여는 편미분 기여를 통합하는 인자 $\mathcal{S}$ 를 통해 체계적으로 고려된다.
• 최종 진공 에너지는 분리 노드 근처에서 $\tau_I$ 에 대한 통합을 통해 구해지며, 디드킨 에타 함수의 형태로 명시적인 표현을 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축된 $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ 칼라비-야우 오비폭스 위에 있는 헤테로지크 스트링 이론에서 두 루프 진공 에너지는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 종수 2 앰리튜드 맥락에서 $τ\mathrm{Sp}(4,\mathbb{Z})/\mathbb{Z}_4$ 에 대해 새로운 모듈러 항등식이 두 루프 초스트링 진폭에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $E_8\times E_8$ 헤테로지크 스트링은 두 루프에서 진공 에너지 상쇄를 보이지만, $τ\mathrm{Spin}(32)/\mathbb{Z}_2$ 는 그렇지 않은 이유는 무엇인가?
• RQ4 슈퍼 모듈리 공간 $\mathfrak{M}_2$ 의 경계 기여는 진공 에너지의 양자역학적 일관성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이 모델에서 진공 에너지를 결정짓는 스핀 구조 합의 수학적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• $E_8\times E_8$ 헤테로지크 스트링의 두 루프 진공 에너지는 오른쪽 스핀 구조에 대한 합에서 상쇄되어 0이 된다. 이는 $U(1)$ 게이지 인자의 부재와 일치한다.
• $\mathrm{Spin}(32)/\mathbb{Z}_2$ 헤테로지크 스트링의 경우 진공 에너지는 비영이며, $\mathcal{S} = 9216\times\bar{\eta}(\tau_1)^{12}\times\bar{\eta}(\tau_2)^{12}$ 로 주어지며, 이는 양자역학적 초대칭 위반을 나타낸다.
• $E_8\times E_8$ 에서 스핀 구조 $\delta_R$ 의 합은 종수 1 리만 제타 특성 항등식으로 인해 0이 되며, 이는 전체 상쇄를 이끈다.
• $\mathrm{Spin}(32)/\mathbb{Z}_2$ 에서의 비영 진공 에너지는 공존하는 $U(1)$ 게이지 군 인자의 존재와 일치한다.
• 진공 에너지의 경계 기여는 게이지 선택 $q_I$ 와 무관하게 독립적이며, 이는 공식의 슬라이스 독립성을 확인한다.
• 계산은 $τ\mathrm{Sp}(4,\mathbb{Z})/\mathbb{Z}_4$ 와 관련된 새로운 모듈러 항등식에 의존하며, 이는 두 루프 진폭의 일관성을 뒷받침한다.