[논문 리뷰] Topological operators, noninvertible symmetries and decomposition

Eric Sharpe|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 30.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 68인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 2차원 양자장이론에서 비가역적인 1형 대칭을 위상적 연산자와 비틀림 장을 통해 분해된 '우주들'로의 연결 프레임워크를 수립한다. 비가역 대칭의 일반적 특성은 자명하게 작용하는 부분군의 표현을 통해 제시되며, 고차원 표현은 비가역 대칭과 별개의 우주를 나타내고, 1차원 표현은 가역 대칭과 동일한 복사본을 나타낸다. 주요 기여는 이전에 사례별로 계산된 바 있었던 투영 연산자에 대한 보편 공식과 비가역 고차형 대칭의 표현 이론적 분류이다.

ABSTRACT

In this paper we discuss the relationship between noninvertible topological operators, one-form symmetries, and decomposition of two-dimensional quantum field theories, focusing on two-dimensional orbifolds with and without discrete torsion. As one component of our analysis, we study the ring of dimension-zero operators in two-dimensional theories exhibiting decomposition. From a commutative algebra perspective, the rings are naturally associated to a finite number of points, one point for each universe in the decomposition. Each universe is canonically associated to a representation, which defines a projector, an idempotent in the ring of dimension-zero operators. We discuss how bulk Wilson lines act as defects bridging universes, and how Wilson lines on boundaries of two-dimensional theories decompose, and compute actions of projectors. We discuss one-form symmetries of the rings, and related properties. We also give general formulas for projection operators, which previously were computed on a case-by-case basis. Finally, we propose a characterization of noninvertible higher-form symmetries in this context in terms of representations. In that characterization, non-isomorphic universes appearing in decomposition are associated with noninvertible one-form symmetries.

연구 동기 및 목표

• 분해된 다수의 우주를 가진 2D 양자장이론에서 비가역 위상적 연산자의 역할을 명확히 하기.
• 차원이 0인 연산자들의 환만으로는 가역적 대칭과 비가역적 1형 대칭을 구분하는 데 애매함을 해결하기.
• 2D 오르비폴드에서 비가역 고차형 대칭의 일반적이고 표현론적인 특성화를 제공하기.
• 이전에 사례별로 계산된 바 있던 투영 연산자에 대한 보편 공식 유도하기.
• 체계와 경계 위그너 라인을 분해 구조와 연결하고, 투영자에 대한 작용을 설명하기.

제안 방법

• 분해가 있는 2D 이론에서 차원이 0인 연산자들의 환을 분석하여, 각 우주에 대응하는 투영자를 그 우주와 관련된 비가역 원소로 식별한다.
• 교환 법칙을 적용하여 환은 각 우주에 대응하는 환들의 곱으로 분해됨을 보이며, 이는 유한 스킴의 점들과 대응된다.
• 자명하게 작용하는 부분군의 유도 표현을 적용하여 우주를 분류하고, 가역적 대칭과 비가역적 1형 대칭을 구별한다.
• 투영자가 부스러기와 경계 위그너 라인에 작용하는 방식을 계산하여, 서로 다른 우주를 연결하는 결함으로서의 작용을 보여준다.
• 군 코hom올로지와 유도 표현을 사용하여 보편적인 투영 연산자 공식을 도출하고, 오르비폴드 예제 전반에 적용 가능하도록 한다.
• 자명하게 작용하는 부분군의 비동형이자 1차원이 아닌 표현을 통해 비가역 고차형 대칭을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분해가 있는 2D QFT에서 비가역적인 1형 대칭을 비가역적인 것과 체계적으로 구별할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 차원이 0인 연산자들의 환은 우주로의 분해를 어떻게 코딩하는가?
• RQ3 부스러기와 경계 위그너 라인이 서로 다른 우주에 관련된 투영자 작용을 받을 때 어떻게 변환되는가?
• RQ4 자명하게 작용하는 부분군이 있는 이론에서 투영 연산자의 보편 공식은 무엇인가?
• RQ5 자명하게 작용하는 부분군의 표현은 어떻게 우주를 분류하고 1형 대칭의 성격을 결정하는가?

주요 결과

• 분해된 2D QFT에서 차원이 0인 연산자들의 환은 각 우주에 대응하는 환들의 곱과 동형이며, 각 우주는 스펙트럼의 점과 대응된다.
• 각 우주는 자명하게 작용하는 부분군의 표현과 자연스럽게 연결되며, 관련된 투영자는 차원이 0인 연산자들의 환에 속하는 비가역 원소이다.
• 부스러기 위그너 라인은 서로 다른 우주를 연결하는 결함으로 작용하며, 그 작용은 게이지 군의 표현 이론에 의해 결정된다.
• 경계 위그너 라인은 자명하게 작용하는 부분군의 유도 표현에 따라 변환되는 성분들로 분해되며, 유도 표현 행렬을 통해 명시적인 작용이 계산된다.
• 우주에 관련된 표현이 비자명하고 차원이 1보다 클 경우 비가역 1형 대칭이 발생하며, 1차원 표현은 가역 대칭을 나타낸다.
• 유도 표현을 사용하여 보편적인 투영 연산자 공식을 도출하였으며, 이는 이전의 사례별 계산을 일반화하고 오르비폴드 이론에서 우주를 체계적으로 식별하는 방법을 제공한다.