[논문 리뷰] Tulczyjew's triples and lagrangian submanifolds in classical field theories

Manuel de León, David Martı́n de Diego외 1명|arXiv (Cornell University)|2003. 02. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic TopologyMathematics참고 문헌 16인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 다중심플렉틱 기하학을 사용하여 툴체이에프의 고전역학을 위한 심플렉틱 프레임워크를 고전적 장 이론으로 확장한다. 제트 연장과 다중심플렉틱 형식을 통해 장 이론에 대한 일반화된 툴체이 삼중항을 도입하며, 올리고르-오일러 및 하미льт론-드 온데르 방정식이 다중심플렉틱 다양체 안에서 (n+1)-차원 라그랑주 부분다양체를 국소적으로 정의하는 방정식으로 나타남을 보여, 기하적 프레임워크 안에서 라그랑주 및 하미льт론 형식을 통합한다.

ABSTRACT

In this paper the notion of Tulczyjew's triples in classical mechanics is extended to classical field theories, using the so-called multisymplectic formalism, and a convenient notion of lagrangian submanifold in multisymplectic geometry. Accordingly, the dynamical equations are interpreted as the local equations defining these lagrangian submanifolds.

연구 동기 및 목표

• 고전역학을 위한 툴체이의 심플렉틱 프레임워크를 고전적 장 이론으로 일반화하기.
• 제트 연장과 다중심플렉틱 기하학을 사용하여 고전적 장 이론의 기하적 형식을 개발하기.
• 올리고르-오일러 및 하미льт론-드 온데르 방정식을 다중심플렉틱 설정에서 라그랑주 부분다양체를 정의하는 방정식으로 해석하기.
• 장 이론에서 일반화된 툴체이 삼중항을 통해 라그랑주 및 하미льт론 형식 간의 대응을 설정하기.

제안 방법

• 고전역학의 표준 심플렉틱 구조를 장 이론으로 일반화하기 위해 다중심플렉틱 형식을 사용하기.
• 1-제트 번들의 Z에서 라그랑주 밀도 Lη로부터 Poincaré–Cartan (n+1)-형식 Ω_L를 구성하기.
• 제트 연장과 발산 등가에 대한 몫을 사용하여 자연적인 미분동형사상 α̃: J̃¹Z* → Λⁿ⁺¹₂Z 및 β̃: J̃¹Z* → Λⁿ⁺¹₂Z*를 정의하기.
• Λⁿ⁺¹₂Z* 상의 자연형식의 역상에 의해 J̃¹Z* 상에 다중심플렉틱 구조를 도입함으로써 다중심플렉틱 다양체 (J̃¹Z*, Ω_β)를 얻기.
• 드 온데르 및 장 방정식의 해를 이 다중심플렉틱 공간 내에서 (n+1)-차원 라그랑주 부분다양체로 표현하기.
• 레전드르 변환과 항등식 Ω_α = Ω_β를 통해 라그랑주 및 하미льт론 형식 간의 동치성을 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전역학에서의 툴체이 삼중항 구성은 어떻게 고전적 장 이론으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 역학에서 심플렉틱 구조가 맡는 역할과 유사하게 장 역학의 역동성을 코딩할 수 있는 적절한 다중심플렉틱 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 올리고르-오일러 및 하미льт론-드 온데르 방정식은 다중심플렉틱 프레임워크에서 어떻게 라그랑주 부분다양체를 정의하는 방정식으로 나타나는가?
• RQ4 제트 연장과 발산에 대한 몫을 취하는 것이 일관된 장이론적 툴체이 삼중항을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 기하적 프레임워크 안에서 라그랑주 및 하미льт론 형식은 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 고전적 장 이론의 역동적 방정식은 일반화된 툴체이 삼중항을 통해 구성된 다중심플렉틱 다양체 안에서 (n+1)-차원 라그랑주 부분다양체의 국소적 정의 방정식으로 기하학적으로 코딩되어 있다.
• 드 온데르 및 장 방정식이 J̃¹Z*에서 Ω_β에 대한 라그랑주 부분다양체에 속하는 수평 섹션의 상이 되는 조건과 동치임을 보였다.
• 자연적인 미분동형사상 β̃: J̃¹Z* → Λⁿ⁺¹₂Z*는 장 방정식의 해를 Λⁿ⁺¹₂Z*의 영단원으로 매핑함으로써 라그랑주 부분다양체의 구조를 확인한다.
• J̃¹Z* 상의 다중심플렉틱 형식 Ω_α 및 Ω_β가 서로 같음을 보여, 라그랑주 및 하미لت론 형식의 기하학적 통합을 확립한다.
• 레전드르 변환은 라그랑주 및 하미لت론 형식을 연결하며, 정칙 조건이 성립할 경우 대응하는 라그랑주 부분다양체 N_L 및 N_h가 일치함을 보였다.