[논문 리뷰] Two Essays on the Archimedean versus Non-Archimedean Debate

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|2008. 09. 25.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 10인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 기하학과 물리학에서 오랫동안 받아들여진 아르키메데스 공리의 가정을 도전하며, 시공간이 비아르키메데스적일 수 있음을 주장한다. 감소된 거듭제곱 대수(RPA)를 사용하여, 무한대와 무한소 양이 존재하는 비아르키메데스적 구조가 물리학에서의 발산 문제를 보정할 필요 없이 더 풍부하고 민첩한 수학적 프레임워크를 제공함을 보여준다.

ABSTRACT

Part 1 : For more than two millennia, ever since Euclid's geometry, the so called Archimedean Axiom has been accepted without sufficiently explicit awareness of that fact. The effect has been a severe restriction of our views of space-time, a restriction which above all affects Physics. Here it is argued that, ever since the invention of Calculus by Newton, we may actually have {\it empirical evidence} that time, and thus space as well, are not Archimedean. Part 2 : There is an insufficient awareness about the {\it rich and complex} structure of various totally ordered scalar fields obtained through the {\it ultrapower} construction. This rich and complex structure comes from the presence of {\it infinitesimals} in such fields, presence which leads to the fact that such fields are {\it non-Archimedean}. Here, with the concept of {\it walkable world}, which has highly intuitive and pragmatic geometric meaning, the mentioned rich and complex structure is illustrated. The issues presented have relevance for what are usually called the "infinities in physics".

연구 동기 및 목표

• 시공간 모델에서 암묵적으로 수용되어 온 아르키메데스 공리의 도전으로, 이는 2000년 이상에 걸쳐 물리학적 및 수학적 직관을 제한해 왔다.
• 특히 무한소의 역사적 사용을 포함한 미적분학이 물리 те리에 비아르키메데스적 구조를 고려할 만한 경험적 근거를 제공한다는 것을 주장한다.
• 감소된 거듭제곱 대수(RPA)가 비아르키메데스적 시공간 모델을 구성하기 위해 비표준 해석보다 더 단순하고 직관적인 대안을 제공함을 보여준다.
• 순수 절대 기하학(PAG)을 통한 아르키메데스 공리의 기각이 시공간을 인위적인 제약에서 해방시켜 더 풍부한 기하학적 및 물리적 구조를 가능하게 한다는 것을 보여준다.
• 비아르키메데스적 체에 포함된 정규 원소로 발산 문제를 해결함으로써 물리학에서의 '무한대 문제'를 해결한다.

제안 방법

• 필터와 아이디얼을 통한 실수의 초곱을 이용해 비아르키메데스적 체를 구성함으로써 RPA(감소된 거듭제곱 대수)의 기초를 마련한다.
• 자신의 위치에서 유한한 수의 단위 크기의 단계를 거쳐 도달 가능한 점들의 집합으로서 '걷기 가능한 세계' $WW(t,u)$를 정의함으로써 비아르키메데스적 구조에서 이산적 도달 가능성을 모델링한다.
• 순서 동형사상(ordered isomorphisms)을 사용하여 모든 $WW(t,u)$가 구조적으로 동일하지만, $\mathbb{F}_{\cal U}$ 전체 체의 무한소 부분집합임을 보여주며, 이는 $\mathbb{R}$에서는 성립하지 않는다.
• 걷기 가능한 세계의 상대적 구조를 분석하여 등가성, 상호소거성, 무한 중첩의 경우를 구분함으로써 아르키메데스 체계에서는 존재하지 않는 복잡한 계층을 드러낸다.
• 아르키메데스적 실수선 $\mathbb{R}$에서 $WW(0,1) = \mathbb{R}$인 것과는 대비하여, 비아르키메데스적 체에서는 $WW(t,u) \ll \mathbb{F}_{\cal U}$임을 보여줌으로써 아르키메데스 공리가 초래하는 구조적 제약을 설명한다.
• 비아르키메데스적 체에서는 '무한대'가 정규 원소로서 대수적으로 잘 정의되어 있음을 보여주며, 물리학에서의 인위적 정규화가 더 이상 필요로 하지 않음을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미적분학에서의 역사적 무한소 사용이 시공간의 비아르키메데스적 구조를 경험적으로 뒷받침하는가?
• RQ2 기하학적 및 물리적 이론에서 아르키메데스 공리를 기각할 경우 발생하는 구조적 결과는 무엇인가?
• RQ3 비아르키메데스적 체에서 걷기 가능한 세계 $WW(t,u)$는 어떻게 행동하며, 실수선 $\mathbb{R}$에서의 그것과 어떻게 다를까?
• RQ4 감소된 거듭제곱 대수(RPA)가 비표준 해석보다 비아르키메데스적 시공간을 모델링하기 위해 더 단순하고 직관적인 대안을 제공할 수 있는가?
• RQ5 비아르키메데스적 프레임워크는 표준 장 이론에서 끊임없이 문제를 일으키는 '물리학의 무한대 문제'를 어떻게 해결하는가?

주요 결과

• 아르키메데스 공리는 시공간을 단 하나의 걷기 가능한 세계 $WW(0,1) = \mathbb{R}$로 제한하지만, 비아르키메데스적 체인 $\mathbb{F}_{\cal U}$는 전체의 무한소 부분집합인 무수히 많은 걷기 가능한 세계를 포함한다.
• 비아르키메데스적 체에서는 모든 $t,u \in \mathbb{F}_{\cal U}, u>0$에 대해 $WW(t,u)$가 $\mathbb{F}_{\cal U}$의 무한소 부분집합이지만, $\mathbb{R}$에서는 $WW(0,1) = \mathbb{R}$임을 고려할 때 이는 근본적인 차이를 보인다.
• 비아르키메데스적 체에서 걷기 가능한 세계는 무한히 중첩될 수 있으며, 한 세계가 다른 세계의 무한소 부분집합이 될 수 있는데, 이는 아르키메데스 체계에서는 불가능한 구조이다.
• 잉여환과 필터를 통한 RPA의 구성은 비표준 해석이 요구하는 전이 원리(Transfer Principle) 없이도 비아르키메데스적 구조에 더 단순하고 직접적인 길을 제공한다.
• 비아르키메데스적 프레임워크에서는 무한대와 무한소 양이 문제되지 않으며, 이는 대수적 연산이 제한 없이 가능한 정규 원소이기 때문이다.
• 순수 절대 기하학(PAG)을 통한 아르키메데스 공리의 기각은 시공간의 수학적·물리적 기술을 인위적인 제약에서 해방시켜 더 풍부하고 자연스러운 모델을 가능하게 한다.