[논문 리뷰] Well-posedness and numerical schemes for McKean-Vlasov equations and interacting particle systems with discontinuous drift.

Gunther Leobacher, Christoph Reisinger외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 미묘한 분산 및 구조적 드리프트-측도 의존성 조건 하에, 1차원 맥클린-블라소프 SDE 및 상호작용 입자 시스템에 대해 비연속 드리프트를 갖는 경우의 잘 정의됨을 확립한다. 구현 가능한 옐러-마르야모 스킴을 제안하고 강한 수렴 결과를 도출하지만, 드리프트의 비연속성으로 인해 표준 1/2 수렴 속도를 확보하지 못한다.

ABSTRACT

In this paper, we first establish well-posedness results of McKean-Vlasov stochastic differential equations (SDEs) and related particle systems with a drift coefficient that is discontinuous in the spatial component. The analysis is restricted to the one-dimensional case, and we only require a fairly mild condition on the diffusion coefficient, namely to be non-zero in a point of discontinuity, while we need to impose certain structural assumptions on the measure-dependence of the drift. Second, we study fully implementable Euler-Maruyama-type schemes for the particle system to approximate the solution of the McKean-Vlasov SDEs. Here, we will prove strong convergence results in terms of number of time-steps and number of particles. Due to the discontinuity of the drift, the convergence analysis is non-standard and the usual $1/2$ strong convergence order known for the Lipschitz case cannot be recovered for all presented schemes.

연구 동기 및 목표

• 1차원에서 비연속 드리프트를 갖는 맥클린-블라소프 SDE의 잘 정의됨을 다루다.
• 그러한 맥클린-블라소프 SDE를 근사하는 상호작용 입자 시스템을 분석하다.
• 입자 시스템에 대해 완전히 구현 가능한 수치적 스킴을 개발하고 수렴 보장을 제공하다.
• 비연속 드리프트로 인해 표준 1/2 수렴 속도가 무효화되는 수렴 분석의 과제를 극복하다.
• 비표준 조건 하에 시간 간격과 입자 수에 따른 강한 수렴 결과를 확립하다.

제안 방법

• 드리프트의 측도 의존성에 대한 구조적 가정을 사용하여, 비연속성에도 불구하고 잘 정의됨을 보장하다.
• 드리프트 비연속점에서 분산 계수의 영이 되지 않도록 요구하여 정규성을 유지하다.
• 명시적인 시간 스텝과 입자 기반 드리프트 평가를 갖는 옐러-마르야모 유형의 스킴을 입자 시스템에 구성하다.
• 비연속 드리프트에 특화된 비표준 수렴 분석 기법을 적용하여 표준 리프시츠 가정을 피하다.
• 커플링과 모멘트 추정을 사용하여 입자 시스템과 맥클린-블라소프 극한 사이의 오차를 제한하다.
• 시간 간격 크기와 입자 수의 상호작용에 따라 수렴 속도가 결정되지만, 고전적 1/2 순서를 달성하지 못한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원에서 비연속 드리프트를 갖는 맥클린-블라소프 SDE가 잘 정의됨은 어떤 조건 하에서 성립하는가?
• RQ2 해결책의 법칙에 대한 드리프트의 구조적 의존성은 잘 정의됨에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 입자 시스템 근사에 대해 완전히 구현 가능한 옐러-마르야모 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ4 이 스킴의 강한 수렴 속도는 무엇이며, 왜 고전적 1/2 순서와 다를까?
• RQ5 시간 스텝 수와 입자 수가 함께 수렴 오차에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 분산 계수에 대한 미묘한 조건과 드리프트-측도 의존성에 대한 구조적 가정 하에, 1차원 맥클린-블라소프 SDE에 대해 비연속 드리프트를 갖는 경우 잘 정의됨이 입증된다.
• 해결책이 존재하기 위해 드리프트 비연속점에서 분산 계수는 영이 되면 안 된다.
• 강한 수렴 보장을 갖는 완전히 구현 가능한 옐러-마르야모 유형의 스킴이 입자 시스템에 제안된다.
• 드리프트의 비연속성으로 인해 표준 분석 기법이 무효화되어 고전적 1/2 순서를 초과하지 못하는 수렴 속도가 도출된다.
• 시간 스텝 수와 입자 수 양자 모두에 대해 수렴이 증명되며, 오차 한계는 양자 모두의 영향을 반영한다.
• 분석 결과 비연속 드리프트가 수렴의 전반적 구조를 본질적으로 변화시키며, 고전적 SDE 이론을 초월한 새로운 수학적 도구가 필요하다는 것이 드러났다.