[论文解读] $(Δ+1)$ Coloring in the Congested Clique Model

Merav Parter|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Advanced Algebra and Logic被引用 14

一句话总结

该论文提出了一种在带宽受限的 congested clique 模型中针对 $(\Delta+1)$ 顶点着色的随机化算法，其运行时间为 $O(\log\log\Delta \cdot \log^{*}\Delta)$ 轮，利用了度数缩减技术以及 ${\mathsf{LOCAL}}$ 模型中的最新进展。此外，还提供了确定性和近似着色变体，其轮数复杂度得到改进，表明在 congested clique 中的带宽限制并不会阻碍实现 $(\Delta+1)$ 着色的高效对称性破缺。

ABSTRACT

In this paper, we present improved algorithms for the $(Δ+1)$ (vertex) coloring problem in the Congested-Clique model of distributed computing. In this model, the input is a graph on $n$ nodes, initially each node knows only its incident edges, and per round each two nodes can exchange $O(\log n)$ bits of information. Our key result is a randomized $(Δ+1)$ vertex coloring algorithm that works in $O(\log\log Δ\cdot \log^* Δ)$-rounds. This is achieved by combining the recent breakthrough result of [Chang-Li-Pettie, STOC'18] in the \local\ model and a degree reduction technique. We also get the following results with high probability: (1) $(Δ+1)$-coloring for $Δ=O((n/\log n)^{1-ε})$ for any $ε\in (0,1)$, within $O(\log(1/ε)\log^* Δ)$ rounds, and (2) $(Δ+Δ^{1/2+o(1)})$-coloring within $O(\log^* Δ)$ rounds. Turning to deterministic algorithms, we show a $(Δ+1)$-coloring algorithm that works in $O(\log Δ)$ rounds.

研究动机与目标

• 为带宽受限的 congested clique 模型中 $(\Delta+1)$ 顶点着色的轮数复杂度差距提供填补。
• 确定 congested clique 模型的全对全通信能力是否能够克服带宽限制，从而实现亚对数轮数复杂度。
• 将 ${\mathsf{LOCAL}}$ 模型中的近期突破性进展扩展到 congested clique 模型，特别是针对 $(\Delta+1)$ 着色等 LCL 问题。
• 开发随机化和确定性算法，使其在 ${\mathsf{LOCAL}}$ 模型中的已知界上达到或超越。

提出的方法

• 将 ${\mathsf{LOCAL}}$ 模型中针对 $(\Delta+1)$ 列表着色的最新 $O(\log^{*}n + \mathsf{Det}_{\deg}(\mathsf{polylog}n))$ 轮算法，通过度数缩减技术适配到 congested clique 模型。
• 采用基于破碎（shattering）的方法：通过随机着色将图分解为小而可管理的连通分量，利用全对全通信在 $O(1)$ 轮内解决。
• 将节点以 $O(1)$-wise 独立的方式划分为 $\ell = O(\Delta^{1/4})$ 个子图，以确保每个子图的最大度数有界，从而支持并行着色。
• 使用条件期望方法对划分过程进行去随机化，采用长度为 $O(\log n)$ 位的种子，以最小化子图中的最大度数违规。
• 使用路由原原子，高效地在相同子图中的节点之间交换颜色候选集，确保小度数分量的通信在 $O(1)$ 轮内完成。
• 对划分后的最终残留子图应用已知的 $O(\log\Delta)$ 轮 $(\Delta+1)$-列表着色算法（引理 4.5）。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在带宽限制，congested clique 模型是否能够实现 $(\Delta+1)$ 顶点着色的亚-$O(\log\Delta)$ 轮复杂度？
• RQ2 congested clique 中的全对全通信是否能够弥补 ${\mathsf{LOCAL}}$ 模型中缺乏大消息能力所带来的不足，从而在对称性破缺问题中取得优势？
• RQ3 ${\mathsf{LOCAL}}$ 模型中针对 $(\Delta+1)$ 着色的近期 $O(\log^{*}n)$ 轮突破性进展，是否可以适配到使用小消息的 congested clique 模型中？
• RQ4 在 LCL 问题（如 $(\Delta+1)$ 着色）中，congested clique 模型下的随机性、去随机化与轮数复杂度之间存在何种权衡？
• RQ5 是否可以利用度数缩减和子图划分技术，在 congested clique 模型中实现接近最优的着色复杂度？

主要发现

• 随机化 $(\Delta+1)$ 顶点着色算法的运行时间为 $O(\log\log\Delta \cdot \log^{*}\Delta)$ 轮，显著优于带宽受限模型中的先前结果。
• 当 $\Delta = O((n/\log n)^{1-\epsilon})$ 时，$(\Delta+1)$-着色可在 $O(\log(1/\epsilon)\log^{*}\Delta)$ 轮内以高概率完成。
• 在 $O(\log^{*}\Delta)$ 轮内计算出 $(\Delta + \Delta^{1/2+o(1)})$-着色，展示了着色范围大小与轮数复杂度之间的权衡。
• 确定性 $(\Delta+1)$-着色算法的运行时间为 $O\left(\log\Delta\right)$ 轮，通过去随机化的子图划分和条件期望实现。
• 去随机化过程使用长度为 $O(\log n)$ 位的种子，通过条件期望确保无坏子图（即无度数违规），从而实现 $O(1)$ 轮去随机化。
• 该算法的结构支持子图着色的并行执行，最终残留图通过已知的列表着色子程序在 $O(\log\Delta)$ 轮内完成着色。