[論文レビュー] A combinatorial take on hierarchical hyperbolicity and applications to quotients of mapping class groups

Jason Behrstock, Mark Hagen+2 more|Bristol Research (University of Bristol)|May 1, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 52被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、リンクの双曲的性質と組み合わせ的交差条件に基づき、双曲的単体複体上で作用する群が階層的に双曲的であるかどうかを判定する組み合わせ的基準を導入する。主な貢献は、残余有限性の仮定の下で、Dehn回転の高次のべきによる写像類群の商が階層的に双曲的であることを示したことである—特に genus 2 の場合には相対的に双曲的である。この結果により、非自明な双曲的商の新たな構成が可能になる。

ABSTRACT

We give a simple combinatorial criterion, in terms of an action on a hyperbolic simplicial complex, for a group to be hierarchically hyperbolic. We apply this to show that quotients of mapping class groups by large powers of Dehn twists are hierarchically hyperbolic (and even relatively hyperbolic in the genus 2 case). Under residual finiteness assumptions, we construct many non-elementary hyperbolic quotients of mapping class groups. Using these quotients, we reduce questions of Reid and Bridson-Reid-Wilton about finite quotients of mapping class groups to residual finiteness of specific hyperbolic groups.

研究の動機と目的

• 単体複体上の群作用の階層的双曲性を確認するための簡素な組み合わせ的基準を提供すること。
• Dehn 回転の高次のべきによる写像類群の商が階層的に双曲的であることを確立すること、特に genus 2 の場合に相対的に双曲的であることを示すこと。
• 写像類群の有限商に関する問いを、特定の双曲的群の残余有限性に還元すること。
• 残余有限性の仮定の下で、非自明な双曲的商の構成を行うこと。

提案手法

• 有限個の H-軌道の辺を加えることで双曲的複体が得られるような単体複体を、双曲的 H-空間と定義する。
• 単体のリンクに関する条件 (A) と (B) を確立する：(A) 同値なリンクの補集合への準等長埋め込み；(B) 単体的結合を用いた組み合わせ的交差構造。
• 商複体内の測地線に関する帰納法と持ち上げの議論を用いて、軌道写像の準等長埋め込みを検証する。
• Greendlinger の補題および関連補題を適用して、商における群元の振る舞いを制御し、商写像の単射性を保証する。
• geodesic の持ち上げを最小化するための well-ordered 複雑度関数 c(γ) を活用し、非自明性の仮定の下で矛盾を導出する。
• 合成射影系と回転族構造を通じて、商複体が階層的双曲的性質を引き継ぐことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体複体上の群作用に対して、どのような組み合わせ的および幾何的条件下で、群が階層的に双曲的であると結論づけられるか？
• RQ2 Dehn 回転の高次のべきによる写像類群の商が階層的に双曲的であることを示せるか？どのような条件下で成立するか？
• RQ3 双曲的群の残余有限性は、写像類群の非自明な双曲的商の構成にどのように利用できるか？
• RQ4 商群から商複体への軌道写像が準等長埋め込みであることを保証する条件は何か？
• RQ5 元の写像類群の階層的双曲的構造は、その商においてどの程度保存されるか？

主な発見

• Dehn 回転の高次のべきによる写像類群の商は階層的に双曲的であり、特に genus 2 の場合には相対的に双曲的である。
• 証明は、双曲的リンクと単体的結合条件に基づく、階層的双曲性のための新しい組み合わせ的基準に依存している。
• 残余有限性の仮定の下で、本稿は写像類群の多くの非自明な双曲的商を構成している。
• 商群から商複体への軌道写像は準等長埋め込みであり、幾何的制御が保証される。
• 捩れを含まない性質により、特定の部分群への商写像の核は自明であるため、これらの部分群上で商写像は単射である。
• 証明では、geodesic の持ち上げを制御し、非自明性の仮定の下で矛盾を導出するために、最小複雑度関数 c(γ) が用いられている。