[论文解读] A computability challenge: asymptotic bounds and isolated error-correcting codes

Yuri I. Manin|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2011

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 12被引用 11

一句话总结

本文研究在构造数学的意义下，q元纠错码的渐近界 αₚ(δ) 是否可计算。利用可计算性理论与码点集的递归可枚举性，证明若 αₚ(δ) 是共递归可枚举的，则严格低于该界的码点集与孤立码点集均为递归可枚举——提供了一套评估可计算性的框架，但 αₚ(δ) 的确切可计算性仍为开放问题。

ABSTRACT

Consider the set of all error--correcting block codes over a fixed alphabet with $q$ letters. It determines a recursively enumerable set of points in the unit square with coordinates $(R,δ)$:= {\it (relative transmission rate, relative minimal distance).} Limit points of this set form a closed subset, defined by $R\le α_q(δ)$, where $α_q(δ)$ is a continuous decreasing function called {\it asymptotic bound.} Its existence was proved by the author in 1981, but all attempts to find an explicit formula for it so far failed. In this note I consider the question whether this function is computable in the sense of constructive mathematics, and discuss some arguments suggesting that the answer might be negative.

研究动机与目标

• 确定在构造数学的意义下，q元纠错码的渐近界 αₚ(δ) 是否可计算。
• 分析严格低于渐近界之码点集与孤立码点集的可计算性。
• 探讨码域 Uₚ（即码点 (R, δ) 的极限点集）是否为递归集，若为递归集，则可推出 αₚ(δ) 的可计算性。
• 评估是否可通过共递归可枚举的有理方格（像素）集对 αₚ(δ) 的图像进行近似，从而建立几何逼近与可计算性之间的联系。

提出的方法

• 采用构造数学中的可计算性框架，特别是共递归可枚举集，以定义 αₚ(δ) 的可计算性。
• 应用 N-条带（N-strips）概念——即以 O(1/N) 误差逼近 αₚ(δ) 图像的连通闭集，使用大小为 1/N 的有理闭球。
• 使用并行算法生成与 αₚ(δ) 图像相交或不相交的有理闭球，从而实现从两侧逼近。
• 将异常 N-球定义为与 Uₚ 相交但其内部不相交的球，并利用其边界点以可控误差定位 Γₚ(δ)。
• 利用若 Uₚ 为递归集，则异常 N-球集为有限集且可算法识别的性质，从而构造对 Γₚ 的双侧逼近。
• 应用 [Brat] 的结果，表明若 Γₚ 为共递归可枚举，则其图集为递归可枚举，从而为递归集，故可计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在尚未知确切公式的情况下，αₚ(δ) 是否在构造数学的意义下可计算？
• RQ2 若 αₚ(δ) 为共递归可枚举，则严格低于 αₚ(δ) 的码点集是否可递归枚举？
• RQ3 在相同假设下，孤立码点集是否也可递归枚举？
• RQ4 若码域 Uₚ 为递归集，是否可推出 αₚ(δ) 的可计算性？
• RQ5 是否可使用具有可控误差的有理像素集有效逼近 αₚ(δ) 的图像？

主要发现

• 若 αₚ(δ) 为共递归可枚举，则严格低于渐近界的码点集为递归可枚举。
• 若 αₚ(δ) 为共递归可枚举，则孤立码点集亦为递归可枚举。
• 在给定的可计算性模型下，αₚ(δ) 的图像是可计算的，当且仅当其为共递归可枚举。
• 若码域 Uₚ 为递归集，则 αₚ(δ) 可计算，因为可通过异常 N-球算法逼近 Uₚ 的边界。
• 通过有理闭球构造 N-条带，可实现对 Γₚ(δ) 的双侧逼近，误差界为 O(1/N)。
• 结果表明，αₚ(δ) 的可计算性等价于其图像的递归可枚举性，因而也等价于低于和高于边界的码点集的递归可枚举性。