[論文レビュー] A convenient category of supermanifolds

Alexander Alldridge|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、関手的空間に基づく、新しい便利な超多様体のカテゴリーを導入し、写像や場の無限次元超多様体（例えばループ超群など）のグローバル構成を可能にするとともに、誘導表現や畳み込み代数の枠組みを提供する。主な貢献は、コンパクトな台を持つ滑らかな超群密度による畳み込みに関して、連続表現における滑らかなベクトルがGårding空間に一致することを示す超群版Dixmier–Malliavin定理の確立である。

ABSTRACT

With a view towards applications in the theory of infinite-dimensional representations of finite-dimensional Lie supergroups, we introduce a new category of supermanifolds. In this category, supermanifolds of `maps' and `fields' (fibre bundle sections) exist. In particular, loop supergroups can be realised globally in this framework. It also provides a convenient setting for induced representations of supergroups, allowing for a version of Frobenius reciprocity. Finally, convolution algebras of finite-dimensional Lie supergroups are introduced and applied to a prove a supergroup Dixmier-Malliavin Theorem: The space of smooth vectors of a continuous representation of a supergroup pair equals the Garding space given by the convolution with compactly supported smooth supergroup densities.

研究の動機と目的

• 写像やファイバー束の断面といった無限次元対象を含む超多様体のカテゴリーを構築すること。
• ループ超群のグローバル実現および有限次元リー超群の誘導表現のための枠組みを提供すること。
• 表現における滑らかなベクトルを研究するための、コンパクトな台を持つ滑らかな超群密度の畳み込み代数を確立すること。
• 滑らかなベクトルがコンパクトな台を持つ滑らかな超群密度による畳み込みに関してGårding空間に一致することを示す、Dixmier–Malliavin定理の超群版を証明すること。
• この新しいカテゴリーにおいて、無限次元超多様体におけるFrobeniusの随伴性およびWeil関手形式を、整合性のあるカテゴリー的枠組み内で拡張すること。

提案手法

• 本稿は、局所モデルの圏から位相空間上の層への関手である関手的空間を用い、無限次元超多様体へのリング付き空間のアプローチの一般化を行う。
• 超多様体を関手的空間の完全な部分カテゴリーとして定義することで、有限次元超多様体との整合性を保ち、写像の内部対象（内部ホム）およびファイバー束の断面の構成を可能にする。
• リー超群のリー超代数はWeil関手形式を用いて定義され、接空間対象や無限小対称性の体系的取り扱いを可能にする。
• コンパクトな台を持つ滑らかな密度を用いて、有限次元リー超群上に畳み込み代数を構成し、畳み込み積 $ f * g = ext{pr}_{13*}(f oxtimes g) $ により作用を定義する。
• $ ext{C}_c^ty(G) $ 内で、$ ho_U o ho $ という近似恒等元の族を構成し、分布の空間で収束させることで、デルタ関数の近似と表現における収束の制御を可能にする。
• この形式はFrobeniusの随伴性を支持し、滑らかなベクトルのGårding空間による特徴づけを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像やファイバー束の断面といった無限次元対象を含む、便利な超多様体のカテゴリーを構築できるか？
• RQ2 提案されたカテゴリーは、ループ超群や他の無限次元超群作用のグローバル実現をサポートするか？
• RQ3 滑らかなベクトルがコンパクトな台を持つ滑らかな超群密度による畳み込みに関してGårding空間に一致することを示す、超群版Dixmier–Malliavin定理を証明できるか？
• RQ4 この新しいカテゴリーにおいて、有限次元超群の無限次元表現のための誘導表現およびFrobeniusの随伴性をどのように定式化できるか？
• RQ5 コンパクトな台を持つ滑らかな超群密度の畳み込み代数を定義し、表現における重複度を研究するために使用できるか？

主な発見

• 関手的空間のカテゴリーは、写像や場の超多様体（ループ超群を含む）が内側ホムやファイバー束の断面として存在する、整合性のとれた設定を提供する。
• 本稿は、Dixmier–Malliavin定理の超群版を証明する：連続表現における滑らかなベクトルの空間は、コンパクトな台を持つ滑らかな超群密度による畳み込みで生成されるGårding空間に一致する。
• $ ext{C}_c^ty(G) $ 内の近似恒等元の族 $ ho_U o ho $ は $ ext{E}'(G) $ で収束し、デルタ関数の近似と表現における収束の制御を可能にする。
• Frobeniusの随伴性はこの枠組みで成り立つため、超群の誘導表現の体系的取り扱いが可能になる。
• $ V_lat $ の閉 $ G $-不変部分空間は、$ U o V $ で $ U_lat $ が $ rak{g} $-不変であるような閉 $ G_0 $-不変部分空間と、一対一対応する。また、$ ext{C}_c^ty(G) $-不変部分空間に対しても同様の対応があり、重複度の等価性が確立される。
• 畳み込み代数 $ ext{C}_c^ty(G) $ は表現に作用し、$ G $-表現における重複度の研究は、対応する超群対または畳み込み代数における問題に帰着可能である。