[论文解读] A Faster Local Algorithm for Detecting Bounded-Size Cuts with Applications to Higher-Connectivity Problems

Sebastian Forster, Yang Liu|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文提出了一种更快的随机局部算法，用于检测有向图中的有界大小割，实现 $O(k^2ackslashackslashDelta)$ 的查询复杂度——显著优于先前的界限——从而支持顶点连通性、最大 $k$-边连通子图以及更高连通性属性测试的更快算法。关键贡献在于一种简化的、亚线性时间的程序，使得在 $k$ 为多对数规模时，几乎线性时间计算顶点连通性成为可能。

ABSTRACT

Consider the following "local" cut-detection problem in a directed graph: We are given a starting vertex $s$ and need to detect whether there is a cut with at most $k$ edges crossing the cut such that the side of the cut containing $s$ has at most $Δ$ interior edges. If we are given query access to the input graph, then this problem can in principle be solved in sublinear time without reading the whole graph and with query complexity depending on $k$ and $Δ$. We design an elegant randomized procedure that solves a slack variant of this problem with $O(k^2 Δ)$ queries, improving in particular a previous bound of $O((2(k+1))^{k+2} Δ)$ by Chechik et al. [SODA 2017]. In this slack variant, the procedure must successfully detect a component containing $s$ with at most $k$ outgoing edges and $Δ$ interior edges if such a component exists, but the component it actually detects may have up to $O(k Δ)$ interior edges. Besides being of interest on its own, such cut-detection procedures have been used in many algorithmic applications for higher-connectivity problems. Our new cut-detection procedure therefore almost readily implies (1) a faster vertex connectivity algorithm which in particular has nearly linear running time for polylogarithmic value of the vertex connectivity, (2) a faster algorithm for computing the maximal $k$-edge connected subgraphs, and (3) faster property testing algorithms for higher edge and vertex connectivity, which resolves two open problems, one by Goldreich and Ron [STOC '97] and one by Orenstein and Ron [TCS 2011].

研究动机与目标

• 设计一种针对有向图中具有有界出边和内部边的局部割检测的更快局部算法。
• 改进先前局部割检测程序的查询复杂度，特别是针对更高连通性问题的应用。
• 解决 Goldreich 和 Ron（2002）以及 Orenstein 和 Ron（2011）提出的关于 $k$-边连通性和 $k$-顶点连通性属性测试的开放问题。
• 通过单一高效局部割检测子程序，统一并简化现有更高连通性问题的处理方法。

提出的方法

• 设计一种随机局部过程，即使略微超过 $\Delta$ 的边界，也能检测包含起始顶点 $s$ 的连通分量，其出边数不超过 $k$，内部边数最多为 $O(k\backslashackslashDelta)$。
• 使用割检测问题的松弛变体，允许对内部边数采用宽松的边界，从而实现更低的查询复杂度。
• 将局部割检测过程作为子程序应用于更高连通性算法中，包括顶点连通性计算和最大 $k$-边连通子图计算。
• 利用 $k$-连通性和连通分量结构的组合性质，降低属性测试中的查询需求。
• 将局部过程集成到一元属性测试算法中，用于 $k$-边连通性和 $k$-顶点连通性，实现更优的查询复杂度。
• 通过适应度感知的查询分析方法，将该过程调整为适用于有界度和无界度图，从而获得统一的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种局部割检测过程，其查询复杂度显著低于先前的 $O((2(k+1))^{k+2}\backslashackslashDelta)$ 边界？
• RQ2 此类过程能否实现更快的顶点连通性计算算法，特别是在 $\kappa$ 为 $n$ 的多对数规模时？
• RQ3 该过程能否用于解决 $k$-边连通性和 $k$-顶点连通性属性测试中的开放问题？
• RQ4 是否存在一种方法，既能实现 $O(k\backslashackslashDelta)$ 的查询复杂度，又能实现 $O(k^2\backslashackslashDelta)$ 的运行时间，避免 $k$ 因子的开销？
• RQ5 能否在保持对 $\Delta$ 的线性依赖且避免对 $k$ 的指数依赖的前提下，将随机局部割检测过程去随机化？

主要发现

• 所提出的局部割检测过程实现了 $O(k^2\backslashackslashDelta)$ 的查询复杂度，优于先前的 $O((2(k+1))^{k+2}\backslashackslashDelta)$ 边界。
• 该算法实现了在 $\kappa$ 为 $n$ 的多对数规模时，首次几乎线性时间计算顶点连通性 $\kappa$。
• 与 Chechik 等人相比，该方法在计算最大 $k$-边连通子图方面实现了更快的算法。
• 该方法解决了两个开放问题：一个是关于 $k$-边连通性属性测试（Goldreich 和 Ron，2002），另一个是关于 $k$-顶点连通性属性测试（Orenstein 和 Ron，2011）。
• 在属性测试中，该算法在无界度图中执行 $O\left(\frac{k^5}{(\epsilon\backslashackslashoverline{d})^2} \log\left(\frac{k}{\epsilon\backslashackslashoverline{d}}\right)\right)$ 次查询，在有界度图中执行 $O\left(\frac{k^3}{\epsilon} \left(\log\left(\frac{k}{\epsilon d}\right)\right)^2\right)$ 次查询。
• 该方法对有向图和无向图、有界度和无界度设置提供了统一的处理方式。