[论文解读] A FEAST Algorithm with oblique projection for generalized eigenvalue problems

Guojian Yin, Raymond H. Chan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 27被引用 7

一句话总结

该论文通过使用斜投影和围线积分，将FEAST算法扩展至非厄米广义特征值问题，实现了在复平面上用户定义区域内稳定且精确的特征值计算。该方法在目标特征对的计算中，相较于传统求解器，在精度和效率方面表现更优，尤其在病态和非厄米情况下表现突出。

ABSTRACT

The contour-integral based eigensolvers are the recent efforts for computing the eigenvalues inside a given region in the complex plane. The best-known members are the Sakurai-Sugiura (SS) method, its stable version CIRR, and the FEAST algorithm. An attractive computational advantage of these methods is that they are easily parallelizable. The FEAST algorithm was developed for the generalized Hermitian eigenvalue problems. It is stable and accurate. However, it may fail when applied to non-Hermitian problems. In this paper, we extend the FEAST algorithm to non-Hermitian problems. The approach can be summarized as follows: (i) to construct a particular contour integral to form a subspace containing the desired eigenspace, and (ii) to use the oblique projection technique to extract desired eigenpairs with appropriately chosen test subspace. The related mathematical framework is established. We also address some implementation issues such as how to choose a suitable starting matrix and design good stopping criteria. Numerical experiments are provided to illustrate that our method is stable and efficient.

研究动机与目标

• 解决原始FEAST算法在非厄米广义特征值问题中失效的问题。
• 开发一种稳定且精确的求解器，用于计算复平面上指定区域内特征值。
• 为非厄米系统中基于围线积分的特征值求解建立数学框架。
• 提供一种停止准则，确保捕获所有所需特征值。
• 在目标特征值计算方面，提升数值性能，优于CIRR和MATLAB的eig等现有方法。

提出的方法

• 构建围线积分，形成一个子空间，其中包含目标特征空间（即位于给定区域内的特征值）。
• 采用精心选择的测试子空间进行斜投影，以提取目标特征对，替代原始FEAST中使用的瑞利-里茨方法。
• 在提取的子空间内使用广义特征值求解器，以精确计算目标特征对。
• 推导出一种方法，用于估计围线内特征值数量的上界，以指导算法参数选择。
• 基于相对残差范数实现自适应停止准则，确保收敛性和完整性。
• 提出一种选择合适初始矩阵的策略，以增强收敛性和稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 FEAST算法能否在保持稳定性和准确性的前提下，推广至非厄米广义特征值问题？
• RQ2 与瑞利-里茨方法相比，斜投影在非厄米系统中如何改善特征对的提取？
• RQ3 哪些有效的停止准则能够确保围线内所有特征值都被捕获？
• RQ4 与成熟求解器如Block_CIRR和MATLAB的eig相比，该方法在精度和计算成本方面表现如何？
• RQ5 在实现中，哪些关键考虑因素（如初始矩阵选择和条件数）对实现稳健性能至关重要？

主要发现

• 所提出的方法成功计算了非厄米广义特征值问题中给定围线内的所有特征值。
• 数值实验表明，该方法的精度高于MATLAB的eig函数，对于中小型问题，相对误差达到约10^-15量级。
• 对于大规模问题（如规模4800），该方法在区域内计算出全部169个特征值，相对误差为5.10×10^-8，表现出强鲁棒性。
• 当仅需计算部分特征值时，该方法在大规模问题上显著快于eig，即使eig计算整个谱，仍观察到显著加速。
• 与Block_CIRR相比，该方法更精确且更稳定，尤其在B矩阵病态或奇异时表现更优，尽管由于每轮迭代中右侧向量数量较多，耗时略高。
• 该算法易于并行化，在所有测试问题中均能在少于10次迭代内收敛，表明收敛速度快。