[论文解读] A Geometric Distance Oracle for Large Real-World Graphs

Deepak Ajwani, W. Sean Kennedy+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型几何距离查询结构，用于大规模真实世界图，通过利用双曲核心和基于高介数中心性节点的生成树，实现快速且精确的距离近似。通过优先选择度数和介数中心性高的节点，该方法在显著降低估计误差的同时，实现了次二次的预处理和查询时间，优于以往基于树或嵌入的查询结构。

ABSTRACT

Many graph processing algorithms require determination of shortest-path distances between arbitrary numbers of node pairs. Since computation of exact distances between all node-pairs of a large graph, e.g., 10M nodes and up, is prohibitively expensive both in computational time and storage space, distance approximation is often used in place of exact computation. In this paper, we present a novel and scalable distance oracle that leverages the hyperbolic core of real-world large graphs for fast and scalable distance approximation. We show empirically that the proposed oracle significantly outperforms prior oracles on a random set of test cases drawn from public domain graph libraries. There are two sets of prior work against which we benchmark our approach. The first set, which often outperforms other oracles, employs embedding of the graph into low dimensional Euclidean spaces with carefully constructed hyperbolic distances, but provides no guarantees on the distance estimation error. The second set leverages Gromov-type tree contraction of the graph with the additive error guaranteed not to exceed $2δ\log{n}$, where $δ$ is the hyperbolic constant of the graph. We show that our proposed oracle 1) is significantly faster than those oracles that use hyperbolic embedding (first set) with similar approximation error and, perhaps surprisingly, 2) exhibits substantially lower average estimation error compared to Gromov-like tree contractions (second set). We substantiate our claims through numerical computations on a collection of a dozen real world networks and synthetic test cases from multiple domains, ranging in size from 10s of thousand to 10s of millions of nodes.

研究动机与目标

• 解决大规模图（最多包含数百万个节点）中精确最短路径距离计算的计算与存储瓶颈问题。
• 开发一种距离查询结构，平衡低预处理成本、最小存储开销、快速查询响应和高精度的距离估计。
• 通过利用真实世界图的双曲结构，弥合理论基础扎实的树近似方法与经验上准确的启发式查询结构之间的差距。
• 证明基于双曲核心的生成树在近似精度上优于现有方法，即使不使用显式双曲嵌入或 Gromov 类型标记。

提出的方法

• 该方法构建一种以节点介数中心性（通过节点度数近似）为优先级的广度优先搜索（BFS）生成树，以聚焦图的双曲核心。
• 利用真实世界图的内在双曲性——即固定比例的最短路径经过一个小型核心节点集合——确保大多数距离在生成树中被精确保留。
• 树的高度被限制在 O(log n) 内，通过使用 O(n log n) 位存储编码路径长度，实现在 O(log n) 时间内完成距离查询。
• 该方法避免使用双曲嵌入和 Gromov 类型的树收缩，转而依赖基于负曲率和核心驱动的树近似这一几何直觉。
• 通过组合来自不同高中心性种子的多个 BFS 树和 Gromov 树，收紧近似范围，并利用最小/最大边界对估计值进行优化。
• 该查询结构支持 O(log n) 的查询时间与 O(n log n) 的预处理时间，使其适用于动态图。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于真实世界图双曲核心的生成树的距离查询结构，能否同时实现低预处理成本和高精度？
• RQ2 在真实世界图中，基于核心的 BFS 树的近似误差与双曲嵌入或 Gromov 类型树收缩方法相比如何？
• RQ3 将节点度数用作介数中心性的代理，能在多大程度上提升基于树的距离查询结构的鲁棒性与精度？
• RQ4 结合多个 BFS 树和 Gromov 树能否在最小开销下实现更紧的近似范围？
• RQ5 δ-双曲图的几何结构是否本质上优于启发式或嵌入式方法，支持更好的距离近似？

主要发现

• 尽管误差水平相似，所提出的查询结构在速度和近似误差方面显著优于基于双曲嵌入的查询结构。
• 即使后者保证了 2δ log n 的理论加法误差界，该方法的平均估计误差仍显著低于 Gromov 类型树收缩方法。
• 在节点数从数万到数百万不等的真实世界图上，该方法实现了 O(log n) 的快速查询时间，同时预处理和存储开销均为 O(n log n)。
• 仅使用 10 棵 Hyper-BFS 树和 20 棵 Gromov 树，如 SantaBarbara Facebook 图所示，近似范围宽度即被大幅缩减。
• 由于预处理成本低，该方法在动态图中表现出色，尤其在更新频率较高的场景下，优于 Rigel 等查询结构。
• 该方法的成功在经验上与双曲核心密切相关，且真实世界网络中节点度数与介数中心性之间存在强相关性。