[論文レビュー] A horse racing between the block maxima method and the peak-over-threshold approach

Axel Bücher, Chen Zhou|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2018

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 74被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、極値統計におけるブロック最大値（BM）法と超過門限法（POT）法の包括的な理論的・実用的比較を提供する。両者の方法は常に一方が他方を上回るわけではない。系列依存性がある状況では、BM法がリターンレベル推定において優れているが、POT法は分位数推定において優れている。選択は、データの依存構造と統計的目標に依存する。

ABSTRACT

Classical extreme value statistics consists of two fundamental approaches: the block maxima (BM) method and the peak-over-threshold (POT) approach. It seems to be general consensus among researchers in the field that the POT method makes use of extreme observations more efficiently than the BM method. We shed light on this discussion from three different perspectives. First, based on recent theoretical results for the BM approach, we provide a theoretical comparison in i.i.d.\ scenarios. We argue that the data generating process may favour either one or the other approach. Second, if the underlying data possesses serial dependence, we argue that the choice of a method should be primarily guided by the ultimate statistical interest: for instance, POT is preferable for quantile estimation, while BM is preferable for return level estimation. Finally, we discuss the two approaches for multivariate observations and identify various open ends for future research.

研究の動機と目的

• 極値分析における超過門限法（POT）法がブロック最大値（BM）法を上回るという長年の議論を解決すること。
• 独立同分布（i.i.d.）および従属データの状況下でのBM法とPOT法の相対的性能を評価すること、特に漸近的効率性とバイアスに注目すること。
• 系列依存性や多変量依存性が存在する状況で、それぞれの方法がどのような条件下で好ましいかを明確にすること。
• 多変量および時系列設定への2次条件および漸近理論の拡張における未解決の理論的課題を特定すること。
• 特に確率過程および多変量極値において、BM法とPOT法を比較するうえでの主要な未解決問題を提示することで、さらなる研究を促すこと。

提案手法

• 最近のブロック最大値の2次条件に関する結果を用いて、i.i.d.および stationarity 時系列仮定下での漸近的性質を確立する、BM法とPOT法の理論的比較。
• BM法の極限モデルとして一般化極値（GEV）分布、POT法の極限モデルとして一般化パレート（GP）分布を用いる。
• 系列依存性の影響を尾部挙動に与える影響を定量化するために、極値指数を用いてBM法とPOT法の推定器を従属設定で関連付ける。
• BM法とPOT法の推定器が一貫性および漸近正規性を満たす条件を導出する。バイアスと分散のトレードオフに注目する。
• 理論的結果を多変量および確率過程設定に拡張し、極値安定過程および一般化パレート過程を極限モデルとして用いる。
• プラグイン法を用いて両手法から高分位数および尾部確率の推定器を導出し、理論的性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、ブロック最大値法が超過門限法を漸近的効率性およびバイアスの観点で上回るのか。
• RQ2 時系列における系列依存性は、BM法とPOT法の推定器の相対的性能にどのように影響するのか。また、リターンレベル推定と分位数推定のどちらに対してより適切な方法は何か。
• RQ3 多変量および従属設定において、BM法とPOT法の2次条件を統一的に比較できる理論的枠組みを構築できるか。
• RQ4 BM法とPOT法の最適なブロックサイズおよび門限値は何か。実務においてバイアスをどのように低減できるか。
• RQ5 POT法を確率過程へどのように拡張できるか。このような設定において、BM法と比較してPOT法はどの程度優位であるか。

主な発見

• 特定のi.i.d.状況下では、POT法が常に効率的であるという一般的な信念に反し、ブロック最大値法が収束速度においてPOT法を上回ることがある。
• 定常時系列では、統計的目標に応じてBM法とPOT法を選択すべきである。リターンレベル推定にはBM法が好ましく、分位数推定にはPOT法が優れている。
• 極値指数は、従属設定におけるBM法とPOT法の推定器を結ぶ重要な役割を果たし、各手法における尾部挙動の比較を可能にする。
• 多変量設定では、適切な依存条件の下でBM法とPOT法の両方が一貫性および漸近正規性を満たすが、多変量2次条件の欠如により理論的比較は依然として困難である。
• POT法は多変量および確率過程設定において理論的により発展しているが、BM法は特に2次条件の観点からこれらの設定において完全な理論的基盤を欠いている。
• 主な未解決の問題として、多変量2次条件がBM法とPOT法の枠組みの間の同等性を可能にしないことにより、高次元における直接的な比較が妨げられていることである。